🌲 الشجرة التعليمية

خاصية طالس: الحالة الأولى والثانية (تمرين 1)

الشرح

تطبيق تناسبية الأطوال في وضعية المثلثات المتداخلة ووضعية الفراشة، مع حساب الأطوال المفقودة باستخدام الرابع التناسبي.

حل تمرين 1 صفحة 104

1) الحالة الأولى (المثلثات المتداخلة)

التناسبية: بما أن $(BC) // (B'C')$ فإن: $\frac{AB'}{AB} = \frac{AC'}{AC} = \frac{B'C'}{BC}$.
حساب $AC'$: $\frac{3.2}{6} = \frac{AC'}{7} \Rightarrow AC' = \frac{3.2 \times 7}{6} \approx 3.73$ cm.
حساب $B'C'$: $\frac{3.2}{6} = \frac{B'C'}{6.1} \Rightarrow B'C' = \frac{3.2 \times 6.1}{6} \approx 3.25$ cm.

2) الحالة الثانية (وضعية الفراشة)

التناسبية: النقط $A, B, B'$ و $A, C, C'$ على استقامية وبنفس الترتيب، و $(BC) // (B'C')$.
حساب $AC'$: $\frac{1.6}{3.2} = \frac{AC'}{4.5} \Rightarrow AC' = 2.25$ cm.
حساب $B'C'$: $\frac{1.6}{3.2} = \frac{B'C'}{3} \Rightarrow B'C' = 1.5$ cm.

3) نص خاصية طالس

إذا كان المستقيمان $(BC)$ و $(B'C')$ متوازيين، فإن أطوال أضلاع المثلثين $ABC$ و $AB'C'$ متناسبة:

$\frac{AB'}{AB} = \frac{AC'}{AC} = \frac{B'C'}{BC}$

التفصيل

يستعرض هذا التمرين التطبيقات العملية لـ 'خاصية طالس' (Thales's Theorem)، وهي حجر الزاوية في هندسة التشابه والتناسب. تعتمد الخاصية على وجود مستقيمين متوازيين يقطعان مستقيمين متقاطعين في نقطة A، مما يولد مجموعتين من الأطوال المتناسبة تماماً. يبرز الحل 'وضعية المثلثات المتداخلة' و 'وضعية الفراشة' (الشكل المتقابل بالرأس)، موضحاً أن القواعد الحسابية تظل ثابتة رغم اختلاف المظهر الهندسي. رياضياً، تكمن قوة هذه الخاصية في تحويل التوازي الهندسي إلى معادلات كسرية بسيطة تسمح بحساب أطوال مجهولة بدقة متناهية، وهو ما يُعد أساساً ضرورياً في مجالات المسح العقاري، الهندسة المعمارية، وحتى في علم الفلك القديم لقياس المسافات والارتفاعات غير القابلة للقياس المباشر.

نصيحة

إليك القاعدة الذهبية لتجنب الخطأ عند كتابة نسب طالس: ابدأ دائماً من 'نقطة الانطلاق' (رأس التقاطع A) وتحرك على طول المستقيم نفسه؛ فإذا بدأت بالضلع الصغير AB' في البسط، يجب أن يكون الضلع الكبير AB في المقام، وكرر نفس الترتيب مع الأضلاع الأخرى. نصيحة احترافية: دائماً تأكد من كتابة شرط التوازي (BC) // (B'C') في بداية حلك، فبدون هذا الشرط لا تملك النسب أي قيمة رياضية. إذا شككت في نتائجك، تذكر أن النسبة بين أضلاع القاعدة المتوازية يجب أن تساوي تماماً النسب المستخرجة من أضلاع المثلثين الجانبيين؛ هذا التناظر هو أسرع وسيلة للتحقق الذاتي من صحة الحسابات.

التمرين: 1الصفحة: 104

📚

تمارين إضافية مقترحة

5 تمرين

قراءة تمثيل بياني (تمرين 11)

الشرح:

استخراج المعامل من البيان وحساب قيم دالة خطية.

التمرين:

حل تمرين 11

المعامل: من البيان النقطة $(400, 80)$ تعطي $a = 80/400 = 0.2$
1) الحساب:
- $f(1954) = 1954 \times 0.2 = 390.8$
- $f(2018) = 2018 \times 0.2 = 403.6$
2) العدد الذي صورته $10085$: $x = 10085 / 0.2 = 50425$

التفصيل:

يعتمد هذا التمرين على استخراج خصائص الدالة الخطية من خلال القراءة البيانية والحساب الجبري. تبدأ المنهجية بتحديد معامل التناسب a (ميل المستقيم) باستخدام إحداثيات نقطة معلومة من البيان (400, 80)، حيث نقسم الترتيب على الفاصلة (80 \div 400) لنجد أن المعامل هو 0.2. هذا الرقم يمثل القاعدة الثابتة للدالة: f(x) = 0.2x. في الجزء الأول، قمنا بحساب 'الصور' بضرب القيم المعطاة في المعامل، بينما في الجزء الثاني، قمنا بالعملية العكسية وهي إيجاد 'السابقة' (العدد الأصلي) من خلال قسمة الصورة النهائية على المعامل. يوضح هذا التمرين كيف يمكن للدالة الخطية أن تحول أي مدخلات إلى مخرجات متناسبة بشكل ثابت ودقيق.

نصيحة:

عند استخراج المعامل من البيان، ابحث دائماً عن النقطة التي تتقاطع فيها خطوط الشبكة بوضوح لتجنب أخطاء التقدير البصري. نصيحة ذهبية للسرعة: بما أن المعامل هو 0.2 (أي خُمس العدد)، يمكنك إجراء الحسابات ذهنياً عبر قسمة العدد على 10 ثم ضرب الناتج في 2، أو ببساطة القسمة على 5. أما عند إيجاد السابقة وقسمة عدد على 0.2، فهي تكافئ تماماً ضرب ذلك العدد في 5، وهو ما يسهل عليك التعامل مع الأرقام الكبيرة مثل 10085 دون الحاجة لآلة حاسبة.

تمرين 11صفحة 72

حل جملة معادلتين (تمرين 22)

الشرح:

حل نظم معادلات خطية جبرياً وبيانياً.

التمرين:

حل تمرين 22

أ) الجملة الأولى: $\begin{cases} x - 7y = 4 \\ 6x - 3y = 3 \end{cases}$

من (1) نجد $x = 4 + 7y$. نعوض في (2): $6(4 + 7y) - 3y = 3 \Rightarrow 24 + 42y - 3y = 3$.
$39y = -21 \Rightarrow y = -\frac{21}{39} = -\frac{7}{13}$.
$x = 4 + 7(-\frac{7}{13}) = \frac{52 - 49}{13} = \frac{3}{13}$. الحل: $(\frac{3}{13}, -\frac{7}{13})$.

ب) الجملة الثانية: $\begin{cases} 5x - 3y = -1 \\ x + y = 3 \end{cases}$

من (2) $y = 3 - x$. نعوض في (1): $5x - 3(3 - x) = -1 \Rightarrow 5x - 9 + 3x = -1$.
$8x = 8 \Rightarrow x = 1$. بالتعويض $y = 3 - 1 = 2$. الحل: $(1, 2)$.

التفصيل:

هذا التمرين يحل نظامين من المعادلات الخطية (Linear systems) باستخدام طريقة التعويض (Substitution method). في النظام الأول: x - 7y = 4 و 6x - 3y = 3. نعزل x من المعادلة الأولى: x = 4 + 7y. ثم نعوض في المعادلة الثانية: 6(4 + 7y) - 3y = 3. نوزع: 24 + 42y - 3y = 3 → 24 + 39y = 3 → 39y = 3 - 24 = -21 → y = -21/39 = -7/13 (بعد القسمة على 3). ثم نعوض y في x = 4 + 7(-7/13) = 4 - 49/13 = (52/13 - 49/13) = 3/13. الحل هو (3/13, -7/13). في النظام الثاني: 5x - 3y = -1 و x + y = 3. من المعادلة الثانية: y = 3 - x. نعوض في الأولى: 5x - 3(3 - x) = -1 → 5x - 9 + 3x = -1 → 8x - 9 = -1 → 8x = 8 → x = 1. ثم y = 3 - 1 = 2. الحل هو (1, 2). طريقة التعويض فعالة بشكل خاص عندما يكون أحد المجهولين معامله 1 أو -1، مما يجعل العزلة سهلة. هذه الأنظمة قد تمثل مسائل عملية مثل تقاطع مستقيمين في المستوى الإحداثي، حيث يمثل كل معادلة خطًا مستقيمًا، والحل المشترك هو نقطة تقاطعهما.

نصيحة:

الخطأ الأكثر شيوعًا في طريقة التعويض هو الخطأ في التعامل مع الإشارات السالبة عند التعويض. في النظام الأول، يجب الانتباه عند كتابة 6(4+7y) - 3y = 3، وليس 6(4+7y) - 3y = 3 ثم 24+42y-3y=3. خطأ آخر هو نسيان توزيع العدد على القوس بشكل صحيح، خاصة إذا كان هناك سالب: مثلاً -3(3-x) = -9 + 3x وليس -9 - 3x. نصيحة تربوية قيّمة: شجع الطلاب على التحقق من الحل بالتعويض في المعادلتين الأصليتين. في النظام الأول: تحقق من الأولى: 3/13 - 7(-7/13) = 3/13 + 49/13 = 52/13 = 4 صحيح. الثانية: 6(3/13) - 3(-7/13) = 18/13 + 21/13 = 39/13 = 3 صحيح. تطبيق عملي: اطلب من الطلاب حل النظام الأول بطريقة الجمع (بضرب المعادلة الأولى في -6 ثم الجمع مع الثانية) ومقارنة النتائج ليروا أن الطريقتين تؤديان إلى نفس الحل. كما أنصح بحفظ نصيحة: 'عندما يكون معامل أحد المجهولين 1 أو -1، استخدم التعويض. وإذا كانت المعاملات مضاعفات بسيطة، استخدم الجمع'. هذا يطور المرونة الاستراتيجية في حل الأنظمة.

تمرين 22صفحة 87

تخفيض سعر كتاب (تمرين 20)

الشرح:

حساب السعر الجديد بعد تخفيض بنسبة 6%.

التمرين:

حل تمرين 20

مقدار التخفيض: $560 \times 0.06 = 33.6$ DA

السعر الجديد: $560 - 33.6 = 526.4$ DA

التفصيل:

يعالج هذا التمرين مفهوم النسبة المئوية وتطبيقاتها التجارية، وتحديداً كيفية حساب 'التخفيض'. تعتمد المنهجية على مرحلتين: الأولى هي تحويل النسبة المئوية (6%) إلى معامل عشري (0.06) وضربه في السعر الأصلي لاستخراج القيمة النقدية التي سيتم حسمها. المرحلة الثانية هي عملية طرح بسيطة لنقل السعر من قيمته الكاملة إلى قيمته المخفضة. رياضياً، يمكن دمج هاتين الخطوتين في عملية واحدة عبر ضرب السعر الأصلي في (1 - 0.06) أي في 0.94 مباشرة للحصول على السعر الجديد، وهو ما يسمى 'معامل التصغير' الذي يختصر الوقت ويقلل احتمالية الخطأ في الحسابات المتعددة.

نصيحة:

عند حساب التخفيض ذهنياً، تذكر أن 6% هي ببساطة 1% مكررة ست مرات؛ وبما أن 1% من 560 هي 5.6، فإن ضربها في 6 يعطيك 33.6 بسرعة. قاعدة ذهبية أخرى: دائماً تأكد أن السعر الجديد 'أقل' من السعر الأصلي عند التخفيض، و'أكبر' منه عند الزيادة (مثل الضرائب أو الأرباح). إذا كنت تستخدم الآلة الحاسبة، يمكنك كتابة العملية كالتالي: 560 \times 94\% = 526.4 للحصول على النتيجة النهائية في خطوة واحدة ودقيقة. عند حساب التخفيض ذهنياً، تذكر أن 6% هي ببساطة 1% مكررة ست مرات؛ وبما أن 1% من 560 هي 5.6، فإن ضربها في 6 يعطيك 33.6 بسرعة. قاعدة ذهبية أخرى: دائماً تأكد أن السعر الجديد 'أقل' من السعر الأصلي عند التخفيض، و'أكبر' منه عند الزيادة (مثل الضرائب أو الأرباح). إذا كنت تستخدم الآلة الحاسبة، يمكنك كتابة العملية كالتالي: 560 \times 94\% = 526.4 للحصول على النتيجة النهائية في خطوة واحدة ودقيقة.

تمرين 20صفحة 73

حساب طول ضلع مجهول (تمرين 2)

الشرح:

استخدام خاصية طالس لحساب طول القاعدة في مثلث بناءً على أطوال الأضلاع الأخرى وتوازي المستقيمات.

التمرين:

حل تمرين 2 صفحة 110

في المثلث $AFE$، لدينا $(BC) // (FE)$. حسب خاصية طالس:

النسبة: $\frac{AB}{AE} = \frac{BC}{FE}$
التعويض: $\frac{3}{3 + 3} = \frac{BC}{10} \Rightarrow \frac{3}{6} = \frac{BC}{10}$
الحساب: $BC = \frac{3 \times 10}{6} = 5$
إذن الطول $BC = 5$.

التفصيل:

يعتمد حل هذا التمرين على 'خاصية طالس' (Thales's Theorem) في المثلث، والتي تسمح بحساب أطوال أضلاع مجهولة عند وجود مستقيمين متوازيين يقطعهما مستقيمان غير متوازيين. رياضياً، تنشأ حالة من 'التشابه' بين المثلث الصغير ABC والمثلث الكبير AFE، مما يجعل نسب أطوال الأضلاع المتناظرة ثابتة. السر في هذا التمرين يكمن في حساب طول الضلع AE كاملاً (مجموع القطعتين AB و BE) قبل البدء في التناسب، وهو خطأ شائع يقع فيه الكثيرون عند محاولة استخدام الأجزاء بدلاً من الأضلاع الكاملة للمثلثات المتشابهة.

نصيحة:

إليك القاعدة الذهبية لتجنب الخطأ: دائماً اكتب أطوال المثلث الصغير في البسط وأطوال المثلث الكبير 'المناظرة' لها في المقام. نصيحة احترافية: لاحظ أن النسبة \frac{3}{6} تساوي النصف (0.5)، وهذا يعني ببساطة أن المثلث الصغير هو نصف حجم المثلث الكبير في كل شيء؛ لذا كان من البديهي أن يكون BC هو نصف FE (أي 5). استخدام هذا 'المنطق البصري' للنسب يساعدك على التأكد من صحة نتائجك بسرعة دون الدخول في تفاصيل الحسابات الطويلة.

تمرين 2صفحة 110

تمرين 1 - الجذور التربيعية ونظرية فيثاغورس

الشرح:

حل تمرين يتضمن حساب BC² باستخدام نظرية فيثاغورس، فهم الجذور التربيعية، والفرق بين القيمة المضبوطة والتقريبية للجذور.

التمرين:

التمرين 1 - الجذور التربيعية ونظرية فيثاغورس

1) حساب $BC^2$ باستخدام نظرية فيثاغورس:

من الشكل (غير مرسوم هنا)، نفترض أن $AB = 1cm$ و $AC = 2cm$ (أو أبعاد أخرى بحيث $BC^2 = 5$ بناءً على السؤال).

$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$

إذن: $BC^2 = 5$

ب) الطول $BC$ هو العدد الموجب الذي مربعه 5.

2) القيمة المضبوطة أو المقربة:

القيمة المضبوطة: $\sqrt{5}$

القيمة المقربة: $2.236067978$ (أو $2.24$ لأقرب جزء من 100)

3) تأكد من ظهور القيمة $2.236067978$ على الحاسبة:

عند كتابة $\sqrt{5}$ في الحاسبة تظهر $2.236067978$ لأن هذه قيمة مقربة للجذر التربيعي للعدد 5.

ب) رأي إيمان: نعم، أوافق إيمان. $2.236067978$ ليست القيمة المضبوطة للعدد الذي مربعه 5، بل هي قيمة مقربة. القيمة المضبوطة هي $\sqrt{5}$ وهي عدد غير نسبي (لا يمكن كتابته ككسر) ويحتوي على عدد لا نهائي من الأرقام بعد الفاصلة.

4) كتابة الجذور التربيعية:

$\sqrt{36} = 6$ لأن $6^2 = 36$
$\sqrt{81} = 9$ لأن $9^2 = 81$
$\sqrt{49} = 7$ لأن $7^2 = 49$

5) إكمال العبارات:

(أ)

$\sqrt{25} = 5$
$\sqrt{64} = 8$
$\sqrt{100} = 10$

(ب) $a$ عدد موجب، فإن $\sqrt{a}$ هو العدد الموجب الذي مربعه يساوي $a$.

التفصيل:

يتمحور هذا التمرين حول الربط الجوهري بين الهندسة المستوية (عبر نظرية فيثاغورس) ومفهوم الجذور التربيعية في الجبر. عند حساب وتر المثلث القائم الذي يحقق BC^2 = 5، ننتقل من عالم الأعداد الناطقة إلى عالم الأعداد غير النسبيّة (Irrationals)؛ حيث أن \sqrt{5} يمثل قيمة هندسية دقيقة لا يمكن التعبير عنها بكسر بسيط أو عدد عشري منتهٍ. المصطلح 'الجذر التربيعي' لعدد موجب a يُعرف تقنياً بأنه الحل الموجب للمعادلة س^2 = a، وهو ما يفسر لماذا نعتبر القيم التي تعطيها الآلة الحاسبة مجرد 'تقريبات' لاحتواء هذه الأعداد على تمثيل عشري غير دوري وغير منتهٍ. فهم هذا التمييز بين القيمة المضبوطة (الرمز الراديكالي) والقيمة المقربة (الفاصلة العشرية) هو حجر الزاوية في الرياضيات الأكاديمية لتجنب تراكم أخطاء القياس في الحسابات المتقدمة.

نصيحة:

إليك سر رياضي هام: لا تخلط أبداً بين 'مربع العدد' و 'الجذر التربيعي'. مربع العدد هو ضربه في نفسه (5^2 = 25)، بينما الجذر التربيعي هو عملية عكسية تماماً تبحث عن الأصل (\sqrt{25} = 5). خطأ شائع يقع فيه الطلاب هو اعتبار أن \sqrt{5} يساوي نصف الـ 5 (أي 2.5)، وهذا خطأ فادح؛ فالجذر هو قيمة هندسية تمثل ضلع مربع مساحته تساوي ذلك العدد. دائماً تحقق من إجابتك بتربيع النتيجة التي حصلت عليها؛ فإذا لم تعد إلى الرقم الأصلي، فجذرك غير دقيق.

تمرين 1صفحة 1