🌲 الشجرة التعليمية

خاصية طالس: الحالة الأولى والثانية (تمرين 1)

الشرح

تطبيق تناسبية الأطوال في وضعية المثلثات المتداخلة ووضعية الفراشة، مع حساب الأطوال المفقودة باستخدام الرابع التناسبي.

حل تمرين 1 صفحة 104

1) الحالة الأولى (المثلثات المتداخلة)

التناسبية: بما أن $(BC) // (B'C')$ فإن: $\frac{AB'}{AB} = \frac{AC'}{AC} = \frac{B'C'}{BC}$.
حساب $AC'$: $\frac{3.2}{6} = \frac{AC'}{7} \Rightarrow AC' = \frac{3.2 \times 7}{6} \approx 3.73$ cm.
حساب $B'C'$: $\frac{3.2}{6} = \frac{B'C'}{6.1} \Rightarrow B'C' = \frac{3.2 \times 6.1}{6} \approx 3.25$ cm.

2) الحالة الثانية (وضعية الفراشة)

التناسبية: النقط $A, B, B'$ و $A, C, C'$ على استقامية وبنفس الترتيب، و $(BC) // (B'C')$.
حساب $AC'$: $\frac{1.6}{3.2} = \frac{AC'}{4.5} \Rightarrow AC' = 2.25$ cm.
حساب $B'C'$: $\frac{1.6}{3.2} = \frac{B'C'}{3} \Rightarrow B'C' = 1.5$ cm.

3) نص خاصية طالس

إذا كان المستقيمان $(BC)$ و $(B'C')$ متوازيين، فإن أطوال أضلاع المثلثين $ABC$ و $AB'C'$ متناسبة:

$\frac{AB'}{AB} = \frac{AC'}{AC} = \frac{B'C'}{BC}$

التفصيل

يستعرض هذا التمرين التطبيقات العملية لـ 'خاصية طالس' (Thales's Theorem)، وهي حجر الزاوية في هندسة التشابه والتناسب. تعتمد الخاصية على وجود مستقيمين متوازيين يقطعان مستقيمين متقاطعين في نقطة A، مما يولد مجموعتين من الأطوال المتناسبة تماماً. يبرز الحل 'وضعية المثلثات المتداخلة' و 'وضعية الفراشة' (الشكل المتقابل بالرأس)، موضحاً أن القواعد الحسابية تظل ثابتة رغم اختلاف المظهر الهندسي. رياضياً، تكمن قوة هذه الخاصية في تحويل التوازي الهندسي إلى معادلات كسرية بسيطة تسمح بحساب أطوال مجهولة بدقة متناهية، وهو ما يُعد أساساً ضرورياً في مجالات المسح العقاري، الهندسة المعمارية، وحتى في علم الفلك القديم لقياس المسافات والارتفاعات غير القابلة للقياس المباشر.

نصيحة

إليك القاعدة الذهبية لتجنب الخطأ عند كتابة نسب طالس: ابدأ دائماً من 'نقطة الانطلاق' (رأس التقاطع A) وتحرك على طول المستقيم نفسه؛ فإذا بدأت بالضلع الصغير AB' في البسط، يجب أن يكون الضلع الكبير AB في المقام، وكرر نفس الترتيب مع الأضلاع الأخرى. نصيحة احترافية: دائماً تأكد من كتابة شرط التوازي (BC) // (B'C') في بداية حلك، فبدون هذا الشرط لا تملك النسب أي قيمة رياضية. إذا شككت في نتائجك، تذكر أن النسبة بين أضلاع القاعدة المتوازية يجب أن تساوي تماماً النسب المستخرجة من أضلاع المثلثين الجانبيين؛ هذا التناظر هو أسرع وسيلة للتحقق الذاتي من صحة الحسابات.

التمرين: 1الصفحة: 104

📚

تمارين إضافية مقترحة

3 تمرين

التمرين 41

الشرح:

(أ) تحقق: 111 ÷ 37 = 3، 222 ÷ 37 = 6، 333 ÷ 37 = 9. جميعها تقبل القسمة على 37. (ب) العدد aaa = 100a + 10a + a = 111a. بما أن 111 ÷ 37 = 3، فإن 111a ÷ 37 = 3a، أي أن aaa يقبل القسمة على 37 لأي قيمة a.

التمرين:

التمرين 41

(أ) تحقق أن كل عدد من الأعداد $111$، $222$، $333$ يقبل القسمة على $37$:
$111 \div 37 = 3$، $222 \div 37 = 6$، $333 \div 37 = 9$
(ب) إثبات أن كل عدد مكتوب على الشكل $aaa$ يقبل القسمة على $37$:
1) $aaa = 100a + 10a + a = 111a$
2) بما أن $111 \div 37 = 3$، فإن $111a \div 37 = 3a$، أي أن $aaa$ يقبل القسمة على $37$ لأي قيمة $a$.

التفصيل:

هذا التمرين في نظرية الأعداد (Number theory) يطبق مفهوم قابلية القسمة (Divisibility) وتحليل الأعداد إلى قيم منزلية (Place value). الجزء (أ): التحقق من أن 111، 222، 333 كلها تقبل القسمة على 37: 111÷37=3، 222÷37=6، 333÷37=9. هذه الأعداد من مضاعفات 37. الجزء (ب): إثبات أن أي عدد مكون من ثلاثة أرقام متماثلة (aaa) يقبل القسمة على 37. نكتب العدد aaa بالصيغة الموسعة: aaa = 100a + 10a + a = 111a. هذا لأن الرقم a في خانة المئات يساوي 100a، وفي خانة العشرات يساوي 10a، وفي خانة الآحاد يساوي a. المجموع = 111a. بما أن 111 = 3 × 37، فإن 111a = 37 × (3a). إذن العدد aaa يقبل القسمة على 37، وخارج القسمة هو 3a. هذا التبرير صحيح لأي رقم a من 1 إلى 9 (أو حتى a=0 لكن 000 ليس عدداً). هذا التمرين يبرز كيفية استخدام التدوين العشري (Decimal representation) لتحليل الأعداد وإثبات خصائص القسمة، وهو أساسي في الرياضيات التطبيقية والتشفير.

نصيحة:

من الأخطاء الشائعة في هذا التمرين هو نسيان أن aaa ليس حاصل ضرب a×a×a بل هو عدد مكون من ثلاث خانات كلها a. قد يخلط الطالب بين aaa و a³. خطأ آخر هو كتابة aaa = 100a + 10a + a = 111a (صحيح). ثم الاستنتاج أن 111a يقبل القسمة على 37 لأن 111=37×3. نصيحة تربوية قيّمة: شجع الطلاب على كتابة الأعداد بالصيغة الموسعة لفهم قيمتها الحقيقية. تطبيق عملي: اطلب من الطلاب إثبات أن أي عدد مكون من 4 أرقام متماثلة (aaaa) يقبل القسمة على 101؟ aaaa = 1000a+100a+10a+a = 1111a. 1111÷101=11، لأن 101×11=1111. إذن aaaa يقبل القسمة على 101. أو أي عدد مكون من 6 أرقام متماثلة (aaaaaa) يقبل القسمة على 37 و 3 و 7 و 13 و 37؟ 111111=3×7×11×13×37. توسيع إضافي: اطلب من الطلاب إثبات أن abcabc (عدد مكون من 6 أرقام حيث الأرقام الثلاثة الأولى تكرر) يقبل القسمة على 1001: abcabc = 1000×abc + abc = 1001×abc، و1001=7×11×13.

تمرين 41صفحة 16

حساب صور أعداد (تمرين 3)

الشرح:

إكمال جدول قيم للدالة التآلفية f(x) = 4x - 3.

التمرين:

حل تمرين 3

x	-3	-2.5	0	1	3	4.5
f(x)	-15	-13	-3	1	9	15

الحساب: $f(x) = 4x - 3$.

التفصيل:

يعالج هذا التمرين مفهوم 'الدالة التآلفية' من خلال إتمام جدول القيم وربطه بالعبارة الجبرية f(x) = ax + b. رياضياً، يمثل الرقم 4 'معامل التوجيه' (الذي يحدد ميل المستقيم)، بينما يمثل الرقم -3 'الترتيب عند المبدأ'. نلاحظ من الجدول أن القيمة -3 تظهر مباشرة تحت x=0، وهذا ليس صدفة؛ بل هو التعريف الرياضي للثابت b الذي يمثل نقطة تقاطع المستقيم مع محور التراتيب. عملية حساب الصور هنا تعتمد على استبدال المجهول x بالقيمة المعطاة مع احترام أولوية الضرب على الطرح، مما ينتج عنه سلسلة من القيم التي تشكل هندسياً نقاطاً تقع تماماً على استقامة واحدة في المستوي.

نصيحة:

إليك القاعدة الذهبية للتحقق من صحة الجدول: بما أن المعامل a=4 موجب، يجب أن تكون قيم f(x) في حالة 'تزايد' دائم كلما اتجهنا لليمين في قيم x. نصيحة احترافية: يمكنك حساب 'معدل التغير' ذهنياً للتأكد من العبارة؛ فمثلاً عند زيادة x بمقدار 1 (من 0 إلى 1)، نلاحظ أن f(x) زادت بمقدار 4 (من -3 إلى 1)، وهذا المقدار الزائد هو دائماً قيمة المعامل a. إذا وجدت أن الزيادة في الجدول لا تتناسب مع هذا المعامل، فهناك خطأ في الحساب.

تمرين 3صفحة 86

الزوايا في مثلث داخل دائرة (تمرين 24)

الشرح:

تحديد نوع المثلث المرسوم داخل دائرة حيث يمثل أحد أضلاعه قطراً لها، ثم حساب زواياه باستخدام النسب المثلثية.

التمرين:

حل تمرين 24 صفحة 125

1) نوع المثلث ABC: بما أن $[AB]$ قطر للدائرة والنقطة $C$ تنتمي إليها، فإن المثلث $ABC$ قائم في C (خاصية المثلث المحاط بدائرة أحد أضلاعه قطر لها).
2) حساب أقياس الزوايا:
لدينا الوتر $AB = 5cm$ (القطر) والمجاور $AC = 3cm$.
$\cos \widehat{A} = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{5} = 0.6 \rightarrow \widehat{A} \approx 53.13^\circ$.
$\widehat{B} = 90^\circ - 53.13^\circ = 36.87^\circ$.

التفصيل:

هذا التمرين الهندسي يطبق نظريتين أساسيتين في الهندسة المستوية: نظرية الزاوية المحيطية في دائرة (Inscribed angle theorem) وخصائص المثلث القائم الزاوية في حساب الزوايا باستخدام النسب المثلثية. النظرية الأولى تنص على أن أي مثلث يُرسم بحيث يكون أحد أضلاعه قطرًا في دائرة، فإن الزاوية المقابلة لهذا الضلع (أي الزاوية التي يقع رأسها على محيط الدائرة) تكون قائمة تمامًا (90 درجة). في هذا التمرين، لدينا الدائرة التي مركزها O وقطرها [AB]، والنقطة C تقع على محيط الدائرة. إذن المثلث ABC قائم الزاوية في C، بغض النظر عن موقع C على القوس (باستثناء A و B نفسيهما). الوتر في هذا المثلث القائم هو الضلع AB لأنه يقابل الزاوية القائمة، وطوله يساوي قطر الدائرة = 5 سم. الضلع AC = 3 سم هو أحد ضلعي الزاوية القائمة، وهو المجاور للزاوية A (أي يلمس الزاوية A وليس الوتر). باستخدام تعريف جيب التمام (Cosine) في المثلث القائم: cos(angle) = الضلع المجاور / الوتر. إذن cos(A) = AC / AB = 3/5 = 0.6. لإيجاد قياس الزاوية A، نستخدم الدالة العكسية arccos (أو cos⁻¹) على الآلة الحاسبة: A = arccos(0.6) ≈ 53.130102°، أي حوالي 53.13° بعد التقريب. ولأن مجموع زوايا المثلث هو 180°، والزاوية C = 90°، إذن A + B = 90°، وبالتالي B = 90° - A ≈ 90° - 53.13° = 36.87°. هذا التمرين يبرز العلاقة الجميلة بين الهندسة الدائرية (Circle geometry) وعلم المثلثات (Trigonometry)، ويوضح كيف يمكن استخدام الدائرة لإنشاء مثلث قائم الزاوية بأبعاد محددة، ثم حساب زواياه بدقة دون الحاجة إلى منقلة، باستخدام النسب المثلثية فقط. هذا المفهوم له تطبيقات واسعة في مجالات متعددة مثل المساحة (Surveying)، الملاحة (Navigation)، الهندسة المدنية (Civil engineering)، الفيزياء (Physics) وخاصة في تحليل القوى والمتجهات، وفي الرسوميات الحاسوبية (Computer graphics) لحساب الزوايا والاتجاهات.

نصيحة:

من الأخطاء الشائعة في هذا النوع من التمارين هو الخلط في تحديد أي ضلع هو الوتر. يجب تذكير الطلاب بأن الوتر في المثلث القائم هو الضلع المقابل للزاوية القائمة (الزاوية 90°)، وهو أطول ضلع في المثلث. هنا الزاوية القائمة هي C، لذا الوتر هو AB (قطر الدائرة) وليس AC أو BC. خطأ آخر هو استخدام النسبة المثلثية الخاطئة: قد يحسب الطالب sin(A) = AC/AB أو tan(A) = AC/BC بدلاً من cos(A) = AC/AB. خطأ ثالث هو نسيان أن مجموع الزوايا الحادة في المثلث القائم يساوي 90°، فيحاول حساب B باستخدام قانون جيب التمام مرة أخرى بدلاً من الطرح البسيط. خطأ رابع هو التقريب المبكر: حساب A = 53.13° ثم طرحها من 90° ليعطي 36.87° صحيح، ولكن إذا قرب A إلى 53° فقط، فسيصبح B = 37°، وهذا قريب لكنه أقل دقة. نصيحة تربوية قيّمة ومبتكرة: شجع الطلاب على التحقق من صحة النتائج باستخدام نظرية فيثاغورس (Pythagorean theorem) أولاً: AC = 3، AB = 5، إذن BC = √(5² - 3²) = √(25 - 9) = √16 = 4 سم. ثم التحقق من tan(A) = المقابل/المجاور = BC/AC = 4/3 ≈ 1.3333، و arctan(1.3333) ≈ 53.13°، نفس النتيجة. هذا التحقق المتعدد يعزز الثقة في النتيجة. تطبيق عملي ممتد: اطلب من الطلاب رسم هذا المثلث فعليًا باستخدام مسطرة وفرجار ومنقلة: ارسم دائرة قطرها 5 سم (نصف قطر 2.5 سم)، اختر نقطة C على الدائرة بحيث تكون المسافة AC = 3 سم (باستخدام الفرجار)، ثم قم بقياس الزاوية A بالمنقلة. سيجدونها حوالي 53°، مما يؤكد الحسابات النظرية. توسيع إضافي: اطلب من الطلاب حل نفس المسألة ولكن مع معطيات مختلفة: (أ) إذا كان AB = 10 سم و AC = 6 سم (نفس النسبة 0.6)، فستكون الزوايا نفسها (53.13° و 36.87°) لأن المثلثين متشابهان (Similar triangles). (ب) إذا كان AB = 5 سم و BC = 4 سم (بدلاً من AC = 3 سم)، فحينها cos(B) = BC/AB = 4/5 = 0.8، و B = arccos(0.8) ≈ 36.87°، و A = 53.13°، وهي نفس الزوايا ولكن معكوسة. هذا يوضح أن الزوايا تعتمد على النسب بين الأضلاع وليس على الأطوال المطلقة. تطبيق حياتي: كيف يستخدم المساحون (Surveyors) هذه المبادئ لقياس المسافات والزوايا في الأراضي بدون الدخول إليها؟ مثلاً، لقياس عرض نهر، يمكن إنشاء مثلث قائم على الضفة باستخدام دائرة تخيلية. هذا النوع من الربط بين الرياضيات والحياة الواقعية يزيد من دافعية الطلاب للتعلم ويثري المحتوى التعليمي بعمق.

تمرين 24صفحة 125