🌲 الشجرة التعليمية

تمرين العدد الذهبي

الشرح

العدد الذهبي ρ ≈ 1.618. يظهر في مستطيل ذهبي حيث النسبة بين الطول والعرض تساوي ρ. استخدمه الإغريق في العمارة مثل مبنى البارثينون.

أسرار العدد الذهبي

العدد الذهبي الذي يرمز له عادة بالرمز $\rho$ يساوي $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ وقيمته بالتقريب إلى الجزء من 1000 هي 1,618.

لتفسير هذا العدد هندسيًا، نعتبر مستطيلاً طوله $L$ وعرضه $l$، حيث يتميز هذا المستطيل بتناسب ضلعه وفق العدد الذهبي. يستعمل هذا التناسب في اللوحات الفنية التشكيلية مما يضفي عليها طابعا جماليا مميزا. يعتقد أن الإغريق قد اكتشفوا هذا العدد في القرن السادس عشر قبل الميلاد، حيث نجد أن المبنى العريق المسمى «البرتنيون» (Parthenon) الذي أنجز المهندس المعماري Phidias في القرن الخامس قبل الميلاد، يتشكل من مستطيلات أبعادها $L$ و $l$ يحققان $\rho = \frac{L}{l}$.

التفصيل

يعتبر العدد الذهبي، أو ما يُعرف بالنسبية الفاضلة، ركيزة أساسية في الربط بين الجبر والهندسة والجماليات البصرية. رياضياً، يُشتق هذا العدد من حل المعادلة التربيعية x^2 - x - 1 = 0، حيث يمثل النسبة التي تجعل النسبة بين مجموع كميتين إلى الكمية الأكبر مساوية للنسبة بين الكمية الأكبر والأصغر. من الناحية الهندسية، يجسد 'المستطيل الذهبي' أعلى معايير التوازن البصري، حيث تكون النسبة بين الطول L والعرض l ثابتة دوماً عند القيمة التقريبية 1.618. هذا التناسب ليس مجرد رقم مجرد، بل هو قانون طبيعي يظهر في ترتيب أوراق النباتات، لولبيات القواقع، وصولاً إلى التصاميم المعمارية الكلاسيكية مثل البارثينون، مما يجعله عنصراً حيوياً في دراسة المتتاليات العددية مثل متتالية فيبوناتشي وعلاقتها بالنهايات الرياضية.

نصيحة

عند التعامل مع مسائل التناسب الهندسي والعدد الذهبي، حاول دوماً الربط بين القيمة الجبرية \frac{1 + \sqrt{5}}{2} والتمثيل الهندسي للمستطيلات المتداخلة. نصيحة ذهبية: إذا قمت برسم مربع داخل مستطيل ذهبي، فإن المستطيل المتبقي سيكون أيضاً مستطيلاً ذهبياً؛ هذه الخاصية 'التكرارية' هي المفتاح لفهم اللوالب الذهبية وتطبيقاتها في التصميم الجرافيكي الحديث وتصحيح الصور الفنية، مما يساعدك على تمييز الأنماط الرياضية في العالم الواقعي.

التمرين: 1الصفحة: 1

📚

تمارين إضافية مقترحة

5 تمرين

تمرين 07 - حل جملة بطريقة الجمع والتعويض

الشرح:

استخدام طريقة الجمع للتخلص من أحد المجاهيل بجمع المعادلتين طرفاً لطرف.

التمرين:

التمرين 07 - صفحة 61

أ) حل الجملة:

نضرب المعادلة (1) في 2- لتصبح: 2x - 6y = -4.
بالجمع مع المعادلة (2): (2x - 2x) + (-6y + y) = -4 + 3 => -5y = -1 => y = 0.2.
بالتعويض: -x + 3(0.2) = 2 => -x + 0.6 = 2 => x = -1.4. الحل: (-1.4 ; 0.2).

التفصيل:

يعتمد هذا الحل على 'طريقة الجمع والتعويض' (Elimination Method) لحل جملة معادلتين خطيتين. رياضياً، الهدف من ضرب المعادلة الأولى في (-2) هو خلق 'معاملات متعاكسة' للمجهول x (أي 2 و -2)، بحيث يختفي هذا المجهول تماماً عند جمع المعادلتين. المصطلح الأساسي هنا هو 'الحذف بالاختزال'، والذي يحول الجملة من مجهولين إلى معادلة بسيطة بمجهول واحد (y). بمجرد إيجاد قيمة y، نستخدم 'التعويض التراجعي' في إحدى المعادلات الأصلية لاستخراج قيمة x، مما يعطينا نقطة تقاطع وحيدة تمثل الحل المشترك للجملة.

نصيحة:

إليك القاعدة الذهبية لاختيار طريقة الحل: إذا كان أحد المجهولين يملك المعامل 1 أو -1 (مثل x في المعادلة الأولى)، فإن طريقة الجمع هي الأسرع والأقل عرضة للأخطاء الحسابية. نصيحة احترافية: دائماً تأكد من ضرب 'كل' حدود المعادلة في العدد المختارة، بما في ذلك الطرف الذي بعد علامة التساوي؛ فنسيان ضرب الثابت (في هذا المثال الرقم 2) هو الخطأ الذي يقع فيه أغلب الطلاب ويؤدي لنتائج غير منطقية.

تمرين 07صفحة 61

تمرين 25 - أبعاد مستطيل

الشرح:

إيجاد الطول والعرض بناءً على المحيط وثبات المساحة عند تغير الأبعاد.

التمرين:

التمرين 25 - صفحة 63

ليكن L الطول و l العرض:

من المحيط: 2(L + l) = 60 => L + l = 30.
من المساحة: (L + 5)(l - 2) = L × l => Ll - 2L + 5l - 10 = Ll => -2L + 5l = 10.
بحل الجملة نجد: L = 20cm و l = 10cm.

التفصيل:

هذا التمرين يطبق حل نظام معادلتين خطيتين (System of linear equations) في مسألة هندسية تتعلق بأبعاد مستطيل (Rectangle dimensions). المعطيات: محيط المستطيل الأصلي هو 60 سم، إذن 2(L + l) = 60 → L + l = 30، حيث L هو الطول و l هو العرض. التغيير: يتم زيادة الطول بمقدار 5 سم (يصبح L + 5) وإنقاص العرض بمقدار 2 سم (يصبح l - 2). المساحة الجديدة تساوي المساحة الأصلية (L × l). إذن (L + 5)(l - 2) = L × l. بتوسيع الطرف الأيسر: L×l - 2L + 5l - 10 = L×l. بطرح L×l من الطرفين: -2L + 5l - 10 = 0 → -2L + 5l = 10. الآن لدينا نظام المعادلتين: (1) L + l = 30، (2) -2L + 5l = 10. لحل النظام، نضرب المعادلة (1) في 2: 2L + 2l = 60، ثم نجمعها مع المعادلة (2): (2L - 2L) + (2l + 5l) = 60 + 10 → 7l = 70 → l = 10 سم. بالتعويض في L + l = 30: L + 10 = 30 → L = 20 سم. التحقق: المساحة الأصلية = 20 × 10 = 200 سم²، المساحة الجديدة = (20+5) × (10-2) = 25 × 8 = 200 سم²، صحيح. هذا التمرين يبرز كيفية بناء المعادلات من نص مسألة لفظية (Word problem) وحلها باستخدام الجبر، وهو تطبيق مهم في الرياضيات التطبيقية والهندسة والفيزياء والاقتصاد.

نصيحة:

من الأخطاء الشائعة في هذا النوع من المسائل هو الخطأ في توسيع (L + 5)(l - 2) بشكل صحيح. قد يكتب الطالب L×l - 2L + 5l + 10 (خطأ في إشارة 10) أو ينسى الحد -2L تمامًا. خطأ آخر هو نسيان أن المحيط = 2(L + l) وليس L + l فقط. بعض الطلاب قد يعوضون في المعادلة الثانية بشكل خاطئ: قد يكتبون (L + 5) + (l - 2) = L + l بدلاً من مساحة. نصيحة تربوية قيّمة: شجع الطلاب على كتابة جميع المعادلات خطوة بخطوة والتحقق من وحدات القياس. تطبيق عملي: اطلب من الطلاب حل المسألة إذا كان التغيير هو زيادة الطول بمقدار 3 سم وإنقاص العرض بمقدار 1 سم مع بقاء المساحة كما هي، أو تغيير المحيط إلى قيمة مختلفة. هذا يعزز مهارة بناء النماذج الرياضية. كما أنصح بحل النظام بطريقة التعويض أيضًا (من L + l = 30 → L = 30 - l، ثم تعويض في -2(30 - l) + 5l = 10 → -60 + 2l + 5l = 10 → 7l = 70 → l = 10) ومقارنة الطريقتين.

تمرين 25صفحة 63

تمرين 21 - حساب أطوال في شبه منحرف

الشرح:

استخدام محيط الشكل وخصائص التوازي (طالس) لحساب الأطوال المجهولة x و y.

التمرين:

التمرين 21 - صفحة 61

لدينا شبه المنحرف ABCD ومحيطه 13.8cm:

المعادلة 1 (المحيط): AB + BC + CD + DA = 13.8 => 4 + x + 5 + y = 13.8 => x + y = 4.8.
المعادلة 2 (خاصية طالس في المثلث EBC): بما أن (AD) // (BC)، فإن EA/EB = ED/EC = AD/BC.
بالتعويض: 10/(10+4) = y/x => 10/14 = y/x => 10x = 14y.
بحل الجملة (x+y=4.8 و 10x-14y=0) نجد: x = 2.8cm و y = 2cm.

التفصيل:

هذا التمرين يطبق مبرهنة طالس (Thales' theorem) في شبه منحرف (Trapezoid) لإيجاد طولي قاعدتيه المجهولتين. شبه المنحرف ABCD فيه القاعدتان المتوازيتان (AD) و (BC)، حيث AD = y (المطلوب) و BC = x (المطلوب)، والضلعان غير المتوازيين هما AB = 4 cm و CD = 5 cm. المعطى الأول هو المحيط (Perimeter) = 13.8 cm، ومنه نحصل على المعادلة: x + y = 4.8. المعطى الثاني هو تمديد الضلعين غير المتوازيين ليتقاطعا في النقطة E، فنحصل على مثلثين متشابهين (Similar triangles): المثلث الكبير EBC والمثلث الصغير EAD. حسب مبرهنة طالس: في مثلث، إذا رسم مستقيم يوازي أحد أضلاعه ويقطع الضلعين الآخرين، فإنه يقسمهما إلى أجزاء متناسبة. هنا (AD) // (BC)، EA = 10 cm، و EB = EA + AB = 10 + 4 = 14 cm. حسب النسبة: EA/EB = AD/BC، أي 10/14 = y/x. بضرب الطرفين في الوسطين نحصل على 10x = 14y. بحل نظام المعادلتين الخطيتين (x + y = 4.8 و 10x - 14y = 0) نجد x = 2.8 cm و y = 2 cm. هذا التمرين يبرز العلاقة بين الهندسة والجبر، وكيف يمكن استخدام خصائص الأشكال الهندسية لبناء معادلات وحلها.

نصيحة:

الخطأ الأكثر شيوعًا في تطبيق مبرهنة طالس هو الخلط في ترتيب النسب أو اختيار الأضلاع المتناظرة بشكل غير صحيح. تذكر دائمًا: النسبة تكون بين الأجزاء المتناظرة على نفس الضلع. في هذا التمرين، النسبة الصحيحة هي EA/EB = AD/BC، وليس EA/AB = AD/BC. خطأ آخر هو نسيان أن EB = EA + AB وليس EB = AB فقط. نصيحة تربوية قيّمة: قبل البدء في الحل، اطلب من الطلاب رسم الشكل وتلوين المثلثين المتشابهين بألوان مختلفة (مثلث EBC باللون الأزرق ومثلث EAD بالأحمر)، ثم كتابة النسب لكل مثلث على حدة ثم مساواتها. كما أنصح بحفظ 'قاعدة التقاطع' (Rule of intersection): إذا تقاطع مستقيمان وقُطِعا بمستقيمين متوازيين، فإن الأجزاء المتقابلة متناسبة. تطبيق عملي: اطلب من الطلاب التحقق من صحة الحل بحساب محيط شبه المنحرف: 4 + 2.8 + 5 + 2 = 13.8 cm، ثم التحقق من النسبة 10/14 = 2/2.8؟ 10/14 ≈ 0.714، و 2/2.8 ≈ 0.714، صحيح. هذا يعزز ثقتهم بالنتيجة.

تمرين 21صفحة 61

تمرين 2 - حل المعادلات التربيعية

الشرح:

حل ثلاث معادلات تربيعية باستخدام مختلف الطرق: التبسيط، التحليل إلى عوامل، وحل معادلات من الشكل x² = a.

التمرين:

التمرين 2 - حل المعادلات التربيعية

حل كل معادلة مما يلي:

1) $x + 1 - x^2 = x$

الحل:

نبدأ بتبسيط المعادلة:

$x + 1 - x^2 = x$

نطرح $x$ من الطرفين:

$x + 1 - x^2 - x = x - x$

$1 - x^2 = 0$

نعيد ترتيب المعادلة:

$-x^2 + 1 = 0$

نضرب في $-1$:

$x^2 - 1 = 0$

نحلل الفرق بين مربعين:

$(x - 1)(x + 1) = 0$

إذن:

إما $x - 1 = 0$ ⇒ $x = 1$

أو $x + 1 = 0$ ⇒ $x = -1$

الحلان: $x = 1$ أو $x = -1$

2) $2x^2 - 6 = 0$

الحل:

$2x^2 - 6 = 0$

نضيف 6 للطرفين:

$2x^2 = 6$

نقسم على 2:

$x^2 = 3$

نأخذ الجذر التربيعي للطرفين:

$x = \sqrt{3}$ أو $x = -\sqrt{3}$

الحلان: $x = \sqrt{3}$ أو $x = -\sqrt{3}$

القيمة التقريبية: $x \approx 1.732$ أو $x \approx -1.732$

3) $-x^2 = 2$

الحل:

$-x^2 = 2$

نضرب في $-1$:

$x^2 = -2$

هذه المعادلة لا يوجد لها حل في مجموعة الأعداد الحقيقية لأن:

$x^2 \geq 0$ لأي عدد حقيقي $x$
$-2 < 0$، لذا لا يمكن أن يساوي $x^2$ قيمة سالبة

إذا كنا في مجموعة الأعداد المركبة، يكون الحل:

$x = \sqrt{-2} = \sqrt{2}i$ أو $x = -\sqrt{2}i$

حيث $i = \sqrt{-1}$ (الوحدة التخيلية)

النتيجة: في ℝ: لا يوجد حل. في ℂ: $x = \sqrt{2}i$ أو $x = -\sqrt{2}i$

ملخص الحلول:

$x + 1 - x^2 = x$ ⇒ $x = 1$ أو $x = -1$
$2x^2 - 6 = 0$ ⇒ $x = \sqrt{3}$ أو $x = -\sqrt{3}$
$-x^2 = 2$ ⇒ لا يوجد حل في ℝ

التفصيل:

يتناول هذا التمرين حل المعادلات من الشكل x^2 = b، وهي النوع الأبسط من المعادلات التربيعية. رياضياً، يعتمد عدد الحلول على قيمة الثابت b؛ فإذا كان b > 0 فإن للمعادلة حلين متمايزين (\sqrt{b} و -\sqrt{b})، وإذا كان b = 0 فلها حل وحيد هو الصفر، أما إذا كان b < 0 فالمعادلة مستحيلة الحل في مجموعة الأعداد الحقيقية لأن مربع أي عدد حقيقي لا يمكن أن يكون سالباً. تكمن القوة التعليمية هنا في تدريب الطالب على 'تصفية' المعادلة وتبسيطها للوصول إلى هذا الشكل النموذجي، مع الربط بين الجبر والهندسة، حيث تمثل الحلول نقاط تقاطعات الدوال التربيعية مع محاور الإحداثيات.

نصيحة:

إليك القاعدة الذهبية للتعامل مع المعادلات التربيعية: لا تكتفِ بالجذر الموجب فقط! خطأ شائع جداً هو نسيان الحل السالب؛ تذكر دائماً أن (-3)^2 = 9 تماماً كما أن 3^2 = 9. نصيحة احترافية: قبل البدء بالحل، انقل كل الأطراف التي تحتوي على x^2 لجهة والأعداد للجهة الأخرى، وإذا انتهيت بمعادلة مثل x^2 = -2، توقف فوراً واكتب 'لا يوجد حل حقيقي'؛ فهذا يوفر عليك مجهوداً عبثياً ويظهر فهمك العميق لمنطق الأعداد الحقيقية.

تمرين 2صفحة 23

تعيين دالة تآلفية وحساب صور وسوابق (تمرين 19)

الشرح:

إيجاد عبارة الدالة f(x) = ax + b بمعلومية صورتين، ثم حساب قيم وسوابق.

التمرين:

حل تمرين 19

1) إيجاد العبارة: لدينا $f(2) = -3$ و $f(3) = 7$.
- المعامل $a = \frac{f(3) - f(2)}{3 - 2} = \frac{7 - (-3)}{1} = 10$.
- لإيجاد $b$: $f(2) = 10(2) + b = -3 \Rightarrow 20 + b = -3 \Rightarrow b = -23$.
- إذن: $f(x) = 10x - 23$.
2) حساب الصور:
- $f(0) = 10(0) - 23 = -23$.
- $f(-2) = 10(-2) - 23 = -43$.
- $f(4) = 10(4) - 23 = 17$.
3) العدد الذي صورته 9: نضع $10x - 23 = 9 \Rightarrow 10x = 32 \Rightarrow x = 3.2$.

التفصيل:

يستهدف هذا التمرين بناء الفهم الجبري للدوال التآلفية، والتي تمثل بيانيًا بمستقيم لا يمر بالضرورة من المبدأ. العملية تبدأ بخطوة جوهرية وهي حساب 'معامل التوجيه' (أو الميل) a، والذي يقيس مدى انحدار المستقيم وتغير القيمة المخرجة بالنسبة للمدخلة؛ ففي هذا المثال، نلاحظ أن كل زيادة بمقدار واحد في x تؤدي إلى زيادة قدرها 10 في f(x). بعد تحديد الميل، ننتقل لإيجاد 'الترتيب عند المبدأ' b عبر التعويض بإحدى النقطتين المعلومتين، وهو ما يحدد نقطة تقاطع المستقيم مع محور التراتيب. هذه الصياغة الجبرية f(x) = 10x - 23 هي النموذج الرياضي الذي يربط أي عدد بصورته، مما يسمح لنا لاحقاً بحساب صور أعداد مختلفة أو حل معادلات عكسية لإيجاد 'السوابق' (المدخلات) بمعلومية النتائج، وهو ما يجسد مفهوم الدالة كآلة تحويل دقيقة.

نصيحة:

تذكر دائماً أن معامل التوجيه a يمثل 'معدل التغير'؛ فإذا كان موجباً كما في تمريننا (a=10)، فإن الدالة متزايدة دائماً. لتسهيل الحسابات وتجنب أخطاء الإشارات، كن حذراً عند طرح الأعداد السالبة في قانون الميل، حيث أن 7 - (-3) تتحول إلى 7 + 3 = 10. أما عند البحث عن 'العدد الذي صورته معلومة'، فأنت تقوم فعلياً بعملية 'عكسية' للدالة؛ أي أنك تبدأ من النتيجة (المخرج) وتتحرك للخلف للوصول إلى المدخل x، وهي مهارة أساسية في حل المعادلات الخطية. يمكنك دائماً التأكد من صحة عبارتك بتعويض القيمتين المعطاة في البداية (x=2 و x=3) في الدالة النهائية؛ فإذا حصلت على -3 و 7 على التوالي، فإن حلك صحيح تماماً.

تمرين 19صفحة 87