🌲 الشجرة التعليمية

تمرين 1 - تبسيط تعبير جذري

الشرح

تبسيط التعبير الجذري B = √250 - √490 + 2√81 باستخدام خصائص الجذور التربيعية وكتابته على الصورة a + b√c.

التمرين 1 - تبسيط تعبير جذري

المعطى:

$B = \sqrt{250} - \sqrt{490} + 2\sqrt{81}$

الحل خطوة بخطوة:

1) تبسيط كل جذر على حدة:

$\sqrt{81} = 9$ لأن $9^2 = 81$
$\sqrt{250} = \sqrt{25 \times 10} = \sqrt{25} \times \sqrt{10} = 5\sqrt{10}$
$\sqrt{490} = \sqrt{49 \times 10} = \sqrt{49} \times \sqrt{10} = 7\sqrt{10}$

2) التعويض في التعبير الأصلي:

$B = 5\sqrt{10} - 7\sqrt{10} + 2 \times 9$

$B = 5\sqrt{10} - 7\sqrt{10} + 18$

3) جمع الحدود المتشابهة:

$B = (5\sqrt{10} - 7\sqrt{10}) + 18$

$B = (-2\sqrt{10}) + 18$

$B = 18 - 2\sqrt{10}$

4) كتابة النتيجة على الصورة المطلوبة $a + b\sqrt{c}$:

بمقارنة $B = 18 - 2\sqrt{10}$ مع الصيغة $a + b\sqrt{c}$:

$a = 18$ (عدد صحيح)
$b = -2$ (عدد صحيح)
$c = 10$ (عدد طبيعي)

5) التحقق من أن $c$ أصغر ما يمكن:

$10 = 2 \times 5$، وليس له عوامل مربعة كاملة (باستثناء 1).
لا يمكن كتابة $\sqrt{10}$ بشكل أبسط لأن 10 ليس لها عوامل مربعة كاملة غير 1.

يمكن التحقق: $\sqrt{10}$ لا يمكن تبسيطه أكثر لأن عوامل 10 هي 2 و 5 وليس بينها أي مربع كامل.

الحل النهائي:

$B = 18 - 2\sqrt{10}$

وبالصيغة المطلوبة: $B = a + b\sqrt{c}$ حيث:

$a = 18$، $b = -2$، $c = 10$

التحقق من الحساب:

$\sqrt{250} \approx 15.811$
$\sqrt{490} \approx 22.136$
$2\sqrt{81} = 18$
المجموع: $15.811 - 22.136 + 18 = 11.675$

$18 - 2\sqrt{10} = 18 - 2 \times 3.162 = 18 - 6.324 = 11.676$ ✓

التفصيل

يعتمد تبسيط التعبيرات الجذرية المعقدة على استراتيجية 'تفكيك الجذور الصماء' إلى جداء عوامل تشمل مربعات كاملة. في هذا التمرين، قمنا بتحويل \sqrt{250} و \sqrt{490} من خلال استخراج المربعات الكاملة (25 و 49) خارج رمز الجذر، مما سمح لنا بالحصول على حدود متشابهة تشترك في الجذر الأصم \sqrt{10}. هذه العملية تسمى رياضياً 'تنطيق الحساب' وتسهل إجراء عمليات الجمع والطرح التي لا يمكن تنفيذها مباشرة على الجذور المختلفة. إن كتابة النتيجة على الشكل a + b\sqrt{c} هي صياغة قياسية في الجبر تهدف إلى فصل الجزء الناطق (Rationnel) عن الجزء غير الناطق، مما يجعل النتائج الرياضية أكثر دقة وأسهل في التحليل الهندسي والمقارنة العددية.

نصيحة

نصيحة تقنية ذكية: عند محاولة تبسيط أي جذر كبير مثل \sqrt{490}، ابحث دائماً عن أصغر جذر صم ظهر في الحدود الأخرى (مثل \sqrt{10} هنا) وجرب قسمة الأعداد الكبيرة عليه. غالباً ما تتبع التمارين المدرسية نمطاً موحداً حيث تشترك جميع الجذور في نفس 'النواة الصماء' لتسهيل الاختزال. كما يُنصح دائماً بحفظ المربعات الكاملة الأولى (1، 4، 9، 16، 25، 36، 49...) لتسريع عملية التفكيك الذهني وتجنب الأخطاء الحسابية عند استخدام الآلة الحاسبة التي قد تعطيك قيماً تقريبية تخفي الطبيعة الدقيقة للعدد.

التمرين: 1الصفحة: 25

📚

تمارين إضافية مقترحة

4 تمرين

حساب الأطوال ومعامل التكبير (تمرين 5)

الشرح:

استخدام توازي المستقيمين وحالة المثلثين في وضعية الفراشة لحساب الأطوال المجهولة وتحديد معامل التكبير.

التمرين:

حل تمرين 5 صفحة 110

أ) حساب الطولين $OF$ و $GH$: بما أن $(EF) // (GH)$، نطبق خاصية طالس:
$\frac{OE}{OH} = \frac{OF}{OG} = \frac{EF}{GH} \Rightarrow \frac{1.3}{3.9} = \frac{OF}{4} = \frac{2}{GH}$.
- $OF = \frac{1.3 \times 4}{3.9} = \frac{4}{3} \approx 1.33$ cm.
- $GH = \frac{3.9 \times 2}{1.3} = 6$ cm.
ب) التكبير والمعامل: المثلث $OGH$ يمثل تكبيراً للمثلث $OEF$ لأن أطوال أضلاعه أكبر. معامل التكبير $k = \frac{OH}{OE} = \frac{3.9}{1.3} = 3$.

التفصيل:

يجمع هذا التمرين بين 'خاصية طالس' ومفهوم 'التكبير والتصغير' في الهندسة المستوية. رياضياً، شرط التوازي (EF) // (GH) يسمح لنا بإنشاء نسب متساوية تعكس التناسب بين المثلث الأصغر OEF والمثلث الأكبر OGH. معامل التكبير k هو النسبة الثابتة التي تربط بين أي ضلعين متناظرين؛ وبما أن k=3، فهذا يعني أن كل طول في المثلث الكبير هو ثلاثة أضعاف الطول المقابل له في المثلث الصغير. هذه الرؤية الهندسية تحول مسألة حساب أطوال جافة إلى فهم لعملية تمدد الأشكال مع الحفاظ على تناسب أبعادها وزواياها.

نصيحة:

إليك القاعدة الذهبية للتعرف على معامل التكبير: هو دائماً النسبة بين 'الطول الجديد' و'الطول الأصلي' بشرط أن يكون الناتج أكبر من 1. نصيحة احترافية: إذا وجدت معامل التكبير k=3، يمكنك حساب GH ذهنياً بضرب EF في 3 مباشرة (2 \times 3 = 6)، وبنفس الطريقة تجد OF بقسمة OG على 3؛ هذه الطريقة أسرع بكثير من استخدام الرابع المتناسب وتساعدك على التحقق من صحة نتائجك في ثوانٍ.

تمرين 5صفحة 110

تمرين 14 - مشكلة عدديين ومجموعهما

الشرح:

ترييض مشكلة لإيجاد عددين بناءً على المجموع والنسبة بعد الإضافة.

التمرين:

التمرين 14 - صفحة 61

ليكن العددان a و b:

المعادلة 1: a + b = 133.
المعادلة 2: (a+5)/(b+5) = 4/7 => 7a + 35 = 4b + 20 => 7a - 4b = -15.
بحل الجملة نجد: a = 47 و b = 86.

التفصيل:

يعتمد المنطق الرياضي في حل هذه المسألة على تحويل النص اللفظي إلى 'جملة معادلتين' خطيتين. المعادلة الأولى تعبر عن المجموع الصافي للعددين (a+b=133). أما المعادلة الثانية، فتجسد علاقة التناسب بعد إضافة قيمة معينة لكلا الطرفين؛ حيث قمنا باستخدام خاصية 'الضرب التقاطعي' (Cross-multiplication) لتحويل النسبة الكسرية إلى معادلة خطية مرتبة (7a - 4b = -15). من خلال دمج المعادلتين واستخدام طريقة التعويض أو الجمع، تم عزل المجهولين لاستخراج القيم الدقيقة التي تحقق الشرطين معاً: مجموعهما 133، ونسبة زيادتهما بخمس وحدات تعادل 4 إلى 7.

نصيحة:

عند التعامل مع معادلات تتضمن نسباً كسرية مثل (a+5)/(b+5) = 4/7، ابدأ دائماً بالضرب التقاطعي للتخلص من الكسور في الخطوة الأولى؛ فهذا يقلل من تعقيد الحسابات ويمنع الوقوع في أخطاء توحيد المقامات. نصيحة للتحقق: بعد إيجاد a=47 و b=86، أضف 5 لكل منهما (52 و 91) ثم جرب قسمتهما؛ ستجد أن 52 \div 13 = 4 و 91 \div 13 = 7، مما يؤكد أن النسبة هي بالفعل 4/7 وأن حلك صحيح تماماً.

تمرين 14صفحة 61

حساب الأقطار في متوازي مستطيلات (تمرين 31)

الشرح:

حساب أطوال الأقطار في المجسمات الثلاثية الأبعاد وتحديد زوايا الميل.

التمرين:

حل تمرين 31 صفحة 125

1) حساب AC و AD:
- في القاعدة المستطيلة: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3.15^2 + 2.35^2} \approx 3.93cm$ (المدور للوحدة هو $4cm$).
- القطر الفضائي: $AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{3.93^2 + 1.55^2} \approx 4.22cm$ (المدور للوحدة هو $4cm$).
2) حساب $\sin \widehat{DAC}$ والزاوية:
- $\sin \widehat{DAC} = \frac{CD}{AD} = \frac{1.55}{4.22} \approx 0.367$.
- قيس الزاوية $\widehat{DAC} \approx \arcsin(0.367) \approx 22^\circ$.

التفصيل:

هذا التمرين في الهندسة الفراغية (Solid geometry) والمثلثات يطبق حساب طول قطر مستطيل (Diagonal of a rectangle) وقطر متوازي المستطيلات (Space diagonal of a rectangular prism)، ثم استخدام النسب المثلثية لإيجاد زاوية. الجزء (1): القاعدة المستطيلة ABCD، حيث AB = 3.15 سم، BC = 2.35 سم. القطر AC يحسب بنظرية فيثاغورس في المستوى: AC = √(AB² + BC²) = √(3.15² + 2.35²) = √(9.9225 + 5.5225) = √15.445 ≈ 3.93 سم. المدور إلى أقرب وحدة (سم) هو 4 سم. القطر الفضائي AD (من A إلى D حيث D هو الرأس العلوي المقابل لـ A؟ أو من A إلى C؟ العبارة غير واضحة، لكن على الأرجح AD هو قطر متوازي المستطيلات: AD = √(AC² + CD²) حيث CD هو الارتفاع = 1.55 سم. إذن AD = √(3.93² + 1.55²) = √(15.4449 + 2.4025) = √17.8474 ≈ 4.225 سم، المدور 4 سم. الجزء (2): حساب sin(زاوية DAC) حيث الزاوية بين AC و AD. في المثلث القائم ACD (القائم في C لأن AC في القاعدة و CD عمودي على القاعدة)، sin(∠DAC) = المقابل/الوتر = CD/AD = 1.55/4.225 ≈ 0.3669. إذن ∠DAC = arcsin(0.3669) ≈ 21.54° ≈ 22° بعد التقريب. هذا التمرين يبرز تطبيق فيثاغورس في بعدين وثلاثة أبعاد، واستخدام النسب المثلثية في الفراغ، وأهمية التقريب في القياسات الهندسية.

نصيحة:

من الأخطاء الشائعة في هذا التمرين هو نسيان أن القطر الفضائي يتطلب جمع مربعات الأبعاد الثلاثة: d = √(L² + l² + h²). هنا AC هو قطر القاعدة، ثم AD هو القطر الفضائي = √(AC² + h²) = √(L²+l²+h²). خطأ آخر هو الخطأ في التقريب: قد يحسب الطالب AC = 3.93 ثم يستخدم 3.93 في حساب AD، وهذا صحيح، لكن قد يستخدم 4 (التقريب) فيحصل على AD = √(16+2.4025)=√18.4025≈4.29، ثم sin=1.55/4.29≈0.361، والزاوية≈21.2°. الفرق ليس كبيراً. بعض الطلاب قد يخلطون بين الضلع المقابل والمجاور في حساب sin. نصيحة تربوية قيّمة: شجع الطلاب على رسم شكل ثلاثي الأبعاد وتحديد المثلث القائم المستخدم (ACD). تطبيق عملي: اطلب من الطلاب حساب قطر متوازي مستطيلات أبعاده 4 سم، 3 سم، 5 سم: القطر = √(4²+3²+5²)=√(16+9+25)=√50≈7.07 سم. ثم حساب الزاوية بين القطر والقاعدة باستخدام sinθ = الارتفاع/القطر = 5/7.07≈0.707 → θ≈45°. توسيع إضافي: اطلب من الطلاب حساب حجم متوازي المستطيلات (V=L×l×h=3.15×2.35×1.55≈11.48 سم³) ومساحة سطحه الكلية.

تمرين 31صفحة 125

تمرين 31 - متراجحة تتضمن أقواس

الشرح:

حل متراجحة تتطلب النشر أولاً ثم عزل المجهول x.

التمرين:

التمرين 31 - صفحة 51

4x - 1 ≥ 5(2x - 1) => 4x - 1 ≥ 10x - 5

4x - 10x ≥ -5 + 1 => -6x ≥ -4

x ≤ -4 / -6 => x ≤ 2/3

التفصيل:

هذا التمرين في الجبر يطبق حل متباينة خطية من الدرجة الأولى بمجهول واحد، تتطلب توزيع الضرب على القوس (Distributive property) ثم نقل الحدود. المتباينة المعطاة: 4x - 1 ≥ 5(2x - 1). الخطوة الأولى: نوزع 5 على القوس: 5(2x - 1) = 10x - 5. تصبح المتباينة: 4x - 1 ≥ 10x - 5. الخطوة الثانية: ننقل حدود x إلى طرف والثوابت إلى الطرف الآخر. نطرح 4x من الطرفين: -1 ≥ 6x - 5. ثم نضيف 5 إلى الطرفين: 4 ≥ 6x. أو بطريقة أخرى: ننقل 4x إلى الطرف الأيمن و -5 إلى الطرف الأيسر: 4x - 10x ≥ -5 + 1 → -6x ≥ -4. الخطوة الثالثة: نقسم الطرفين على -6 (عدد سالب، لذا نعكس إشارة المتباينة): x ≤ (-4)/(-6) = 4/6 = 2/3. إذن مجموعة الحل هي x ≤ 2/3. هذا التمرين يبرز أهمية توزيع الضرب على القوس بشكل صحيح، وعكس إشارة المتباينة عند القسمة على عدد سالب، وتبسيط الكسور إلى أبسط صورة.

نصيحة:

من الأخطاء الشائعة في هذا التمرين هو نسيان توزيع 5 على -1 داخل القوس، فيكتب الطالب 5(2x-1)=10x-1 (خطأ). خطأ آخر هو الخطأ في نقل الحدود: 4x-1 ≥ 10x-5 → 4x-10x ≥ -5+1 → -6x ≥ -4 (صحيح). ثم عند القسمة على -6، قد ينسى عكس الإشارة فيكتب x ≥ 2/3 (خطأ). بعض الطلاب قد يخطئون في تبسيط -4/-6 إلى 2/3 (صحيح) لكن قد يكتبونها كـ 3/2. نصيحة تربوية قيّمة: شجع الطلاب على اختبار قيمة حدودية للتحقق. جرب x=0 (تحقق 0 ≤ 2/3): 4(0)-1=-1، 5(2×0-1)=5(-1)=-5، -1 ≥ -5 صحيح. جرب x=1 (لا تحقق لأن 1 > 2/3): 4-1=3، 5(2-1)=5، 3 ≥ 5 خطأ. تطبيق عملي: اطلب من الطلاب حل متباينات مشابهة: 3(x-2) ≤ 2x+1 (الحل: 3x-6 ≤ 2x+1 → x ≤ 7)، 2(3x+1) > 5x-4 (الحل: 6x+2 > 5x-4 → x > -6)، 4(2x-3) ≥ 3(x+2) (الحل: 8x-12 ≥ 3x+6 → 5x ≥ 18 → x ≥ 3.6)، (x+3)/2 ≤ (2x-1)/3 (الحل: 3(x+3) ≤ 2(2x-1) → 3x+9 ≤ 4x-2 → 11 ≤ x → x ≥ 11).

تمرين 31صفحة 51