🌲 الشجرة التعليمية

تمرين 01 - اختبار حلول معادلة بمجهولين

الشرح

التحقق مما إذا كانت الثنائيات المعطاة (x ; y) تمثل حلاً للمعادلة x - 2y = 7 من خلال التعويض المباشر.

التمرين 01 - صفحة 60

المعادلة هي: x - 2y = 7

أ) الثنائية (1 ; 0): تعويض x=1 و y=0 نجد 1 - 2(0) = 1. (1 ≠ 7) إذن ليست حلاً.
ب) الثنائية (0 ; 7): تعويض x=7 و y=0 نجد 7 - 2(0) = 7. (7 = 7) إذن الثنائية (0 ; 7) حل للمعلادلة.
جـ) الثنائية (1 ; -3): تعويض x=-3 و y=1 نجد -3 - 2(1) = -5. (-5 ≠ 7) إذن ليست حلاً.

التفصيل

يتمحور هذا التمرين حول مفهوم 'الحل الجبري' لمعادلة من الدرجة الأولى بمجهولين، حيث يمثل الحل هنا ثنائية مرتبة (x, y) تحقق التساوي عند التعويض. رياضياً، هذه المعادلة لا تملك حلاً وحيداً بل عدداً لا نهائي من الحلول التي تشكل هندسياً 'مستقيماً' في المستوي الإحداثي. عملية التحقق تعتمد على تعويض المسقط الأول مكان x والمسقط الثاني مكان y واختبار صحة المساواة؛ وهي مهارة أساسية للانتقال من الحساب العددي البسيط إلى فهم الارتباطات الخطية بين المتغيرات. إن التمييز بين الحلول الصحيحة والخاطئة يساعد الطالب على استيعاب فكرة 'نطاق الحل' وكيفية تمثيل البيانات الجبرية بصيغة هندسية دقيقة تعبر عن علاقة ثابتة بين قيمتين متغيرتين.

نصيحة

إليك تقنية ذكية للتحقق السريع: عند التعامل مع ثنائية تحتوي على الصفر (مثل 7 ; 0)، ابدأ دائماً بالطرف الذي يتضمن الصفر لتسهيل الحساب الذهني. نصيحة تعليمية أخرى: تذكر دائماً ترتيب الثنائية؛ المسقط الأول هو دائماً x والثاني هو y. خطأ شائع يقع فيه الطلاب هو عكس القيم عند التعويض، مما يؤدي لنتائج خاطئة تماماً. هندسياً، إذا أردت إيجاد حلول أخرى بسهولة، قم بفرض قيمة لـ x ثم حل المعادلة الناتجة بمجهول واحد لإيجاد y المقابلة لها، وهكذا يمكنك رسم المستقيم الممثل لهذه المعادلة بدقة.

التمرين: 01الصفحة: 60

📚

تمارين إضافية مقترحة

3 تمرين

تحليل المدرج التكراري للاستهلاك الكهربائي (تمرين 6)

الشرح:

قراءة التكرارات من المدرج التكراري وحساب التواترات المجمعة لـ 200 عائلة.

التمرين:

حل تمرين 6 صفحة 98

استخراج التكرارات من المدرج: الفئة [0, 0.5[: 10 عائلات | [0.5, 1[: 50 | [1, 1.5[: 60 | [1.5, 2[: 50 | [2, 2.5[: 20 | [2.5, 3]: 10.
المجموع: 200 عائلة.

الفئة (MWh)	[0-0.5[	[0.5-1[	[1-1.5[	[1.5-2[	[2-2.5[	[2.5-3]
التواتر المجمع الصاعد	0.05	0.30	0.60	0.85	0.95	1.00
التواتر المجمع النازل	1.00	0.95	0.70	0.40	0.15	0.05

التفصيل:

ينقلنا هذا التمرين من مرحلة 'التكرارات' المطلقة إلى مرحلة 'التواترات' (Frequencies) المجمعة، وهي نسب مئوية تعبر عن توزع العينة بشكل أكثر شمولية. رياضياً، التواتر هو حاصل قسمة التكرار على المجموع الكلي (200)، بينما التواتر المجمع الصاعد يراكم هذه النسب ليصل إلى 1.00 (أي 100%). المصطلح الأساسي هنا هو 'التحليل النسبي'؛ فبدلاً من القول إن هناك 60 عائلة، نقول إن 60% من العائلات تستهلك أقل من 1.5 ميجاواط ساعي. هذا التحويل ضروري جداً لمقارنة دراسات إحصائية لعينات مختلفة الأحجام، حيث تصبح المقارنة مبنية على الحصص النسبية لا الأعداد المجردة.

نصيحة:

إليك القاعدة الذهبية لحساب التواتر المجمع الصاعد: ابدأ بأول تواتر بسيط، ثم أضف إليه التواتر الذي يليه وهكذا، وتأكد دائماً أن النتيجة النهائية هي 1 تماماً. نصيحة احترافية: إذا أردت التحقق من التواتر المجمع النازل، لاحظ أن مجموع 'الصاعد' و 'النازل' لنفس الفئة لا يساوي 1 بالضرورة؛ الطريقة الأضمن هي البدء بـ 1 في الفئة الأولى ثم طرح التواترات البسيطة منها تدريجياً، تماماً كما تفعل مع التكرار المجمع النازل.

تمرين 6صفحة 98

التوازي في مستطيل (تمرين 15)

الشرح:

إثبات توازي مستقيمين داخل مستطيل باستخدام الخاصية العكسية لطالس.

التمرين:

حل تمرين 15 صفحة 111

في المثلث $ABD$، النقط $A, M, B$ و $A, N, D$ على استقامية:

$\frac{AM}{AB} = \frac{2}{10} = 0.2$ (لأن $AB=CD=10$)
$\frac{AN}{AD} = \frac{3}{15} = 0.2$ (لأن $AD=BC=15$)
بما أن $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AD}$، فإن $(MN) // (BD)$.

التفصيل:

يعتمد المنطق الرياضي في هذا الحل على تطبيق 'خاصية طاليس العكسية' داخل المثلث ABD. استند البرهان إلى حقيقة أن توازي أضلاع المستطيل المتقابلة وتساوي أطوالها سمح لنا بتحديد أطوال أضلاع المثلث (AB=10 و AD=15). من خلال حساب النسبتين rac{AM}{AB} و rac{AN}{AD} ومقارنتهما، وجدنا تساوياً تاماً في القيمة (0.2)، ومع تحقق شرط استقامية النقط بنفس الترتيب، أثبتنا هندسياً أن المستقيم (MN) يوازي القطر (BD) حتماً.

نصيحة:

عند التعامل مع تمارين التوازي داخل أشكال هندسية كالمستطيل، استخدم دائماً خصائص الشكل (التوازي والتساوي) لاستنتاج الأطوال المفقودة قبل البدء في حساب النسب. نصيحة للترتيب: تأكد دائماً من كتابة عبارة 'النقط على استقامية وبنفس الترتيب' في ورقة الإجابة، لأن خاصية طاليس العكسية لا تكتمل رياضياً بدون هذا الشرط الوصفي، حتى وإن كانت الحسابات العددية صحيحة.

تمرين 15صفحة 111

مستطيل ومثلث فيه - النسبة الذهبية (تمرين 33)

الشرح:

في المستطيل ABCD، نقطة E على نصف AE، مثلث AED قائم في F، احسب طول AE المضبوط، ثم أثبت أن AB = (1 + √5)/2

التمرين:

حل تمرين 33

المستطيل ABCD، AD = 1، AE = x، E منتصف AE، △AED قائم في F

(1) طول AE المضبوط: $x = \sqrt{2}$ (في الحالة المعطاة)

لكن التمرين يركز على النسبة الذهبية φ:

AB = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}

(2) AE = AB / 2 في بعض التفسيرات

(3) طول AB المضبوط = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}

(4) طريقة إنشاء العدد الذهبي: تقسيم مقطع طوله 1 بنسبة φ بحيث الكل / الجزء الأكبر = الجزء الأكبر / الجزء الأصغر

التفصيل:

هذا التمرين في الهندسة والجبر يطبق مفهوم النسبة الذهبية (Golden ratio) φ، وهي عدد غير نسبي قيمته (1+√5)/2 ≈ 1.618. النسبة الذهبية تحقق الخاصية: إذا كان طول مقطع كامل هو L، وقسم إلى جزأين a و b (a > b)، فإن النسبة الذهبية تحقق L/a = a/b = φ. كما تحقق φ² = φ + 1. في المستطيل الذهبي (Golden rectangle)، إذا كان الطول L والعرض l، فإن L/l = φ. في هذا التمرين، المستطيل ABCD، AD = 1، و AE = x، و E منتصف AD؟ (العبارة غير واضحة). المهم أن النسبة الذهبية تظهر عند إنشاء مستطيل ذهبي: إذا أخذنا مربعاً طول ضلعه 1، ثم أضفنا نصف ضلع لإنشاء مستطيل، فإن النسبة بين الطول والعرض تصبح φ. العلاقات: φ = (1+√5)/2، و 1/φ = φ - 1 = (√5 -1)/2 ≈ 0.618. طريقة إنشاء العدد الذهبي: رسم مقطع طوله 1، ثم إنشاء مربع عليه، ثم قوس من مركز الضلع المقابل... هذا التمرين يبرز العلاقة بين الهندسة والجبر والأعداد غير النسبية، وأهمية النسبة الذهبية في الفن والعمارة والطبيعة.

نصيحة:

من الأخطاء الشائعة في التعامل مع النسبة الذهبية هو الخلط بين φ و 1/φ. φ ≈ 1.618، و 1/φ ≈ 0.618. خطأ آخر هو الاعتقاد بأن φ = 1.618 بالضبط، بينما هو عدد غير نسبي لا يمكن تمثيله بدقة على الآلة الحاسبة. نصيحة تربوية قيّمة: شجع الطلاب على التحقق من العلاقة φ² = φ + 1: ( (1+√5)/2 )² = (1+2√5+5)/4 = (6+2√5)/4 = (3+√5)/2، و φ+1 = (1+√5)/2 + 1 = (1+√5+2)/2 = (3+√5)/2، صحيح. تطبيق عملي: اطلب من الطلاب إيجاد النسبة الذهبية لمستطيل أبعاده 13 و 8 (13/8=1.625، قريب من φ) و 21 و 13 (21/13≈1.615)، وهذه أرقام في متتالية فيبوناتشي (Fibonacci sequence) التي تتقارب نسبتها إلى φ. توسيع إضافي: اطلب من الطلاب إنشاء مستطيل ذهبي باستخدام مسطرة وفرجار، أو حساب أبعاد مستطيل ذهبي إذا كان عرضه 10 سم (الطول = 10×φ ≈ 16.18 سم).

تمرين 33صفحة 29