🌲 الشجرة التعليمية

تمرين 01 - اختبار حلول معادلة بمجهولين

الشرح

التحقق مما إذا كانت الثنائيات المعطاة (x ; y) تمثل حلاً للمعادلة x - 2y = 7 من خلال التعويض المباشر.

التمرين 01 - صفحة 60

المعادلة هي: x - 2y = 7

أ) الثنائية (1 ; 0): تعويض x=1 و y=0 نجد 1 - 2(0) = 1. (1 ≠ 7) إذن ليست حلاً.
ب) الثنائية (0 ; 7): تعويض x=7 و y=0 نجد 7 - 2(0) = 7. (7 = 7) إذن الثنائية (0 ; 7) حل للمعلادلة.
جـ) الثنائية (1 ; -3): تعويض x=-3 و y=1 نجد -3 - 2(1) = -5. (-5 ≠ 7) إذن ليست حلاً.

التفصيل

يتمحور هذا التمرين حول مفهوم 'الحل الجبري' لمعادلة من الدرجة الأولى بمجهولين، حيث يمثل الحل هنا ثنائية مرتبة (x, y) تحقق التساوي عند التعويض. رياضياً، هذه المعادلة لا تملك حلاً وحيداً بل عدداً لا نهائي من الحلول التي تشكل هندسياً 'مستقيماً' في المستوي الإحداثي. عملية التحقق تعتمد على تعويض المسقط الأول مكان x والمسقط الثاني مكان y واختبار صحة المساواة؛ وهي مهارة أساسية للانتقال من الحساب العددي البسيط إلى فهم الارتباطات الخطية بين المتغيرات. إن التمييز بين الحلول الصحيحة والخاطئة يساعد الطالب على استيعاب فكرة 'نطاق الحل' وكيفية تمثيل البيانات الجبرية بصيغة هندسية دقيقة تعبر عن علاقة ثابتة بين قيمتين متغيرتين.

نصيحة

إليك تقنية ذكية للتحقق السريع: عند التعامل مع ثنائية تحتوي على الصفر (مثل 7 ; 0)، ابدأ دائماً بالطرف الذي يتضمن الصفر لتسهيل الحساب الذهني. نصيحة تعليمية أخرى: تذكر دائماً ترتيب الثنائية؛ المسقط الأول هو دائماً x والثاني هو y. خطأ شائع يقع فيه الطلاب هو عكس القيم عند التعويض، مما يؤدي لنتائج خاطئة تماماً. هندسياً، إذا أردت إيجاد حلول أخرى بسهولة، قم بفرض قيمة لـ x ثم حل المعادلة الناتجة بمجهول واحد لإيجاد y المقابلة لها، وهكذا يمكنك رسم المستقيم الممثل لهذه المعادلة بدقة.

التمرين: 01الصفحة: 60

📚

تمارين إضافية مقترحة

3 تمرين

تمرين 07 - حل جملة بطريقة الجمع والتعويض

الشرح:

استخدام طريقة الجمع للتخلص من أحد المجاهيل بجمع المعادلتين طرفاً لطرف.

التمرين:

التمرين 07 - صفحة 61

أ) حل الجملة:

نضرب المعادلة (1) في 2- لتصبح: 2x - 6y = -4.
بالجمع مع المعادلة (2): (2x - 2x) + (-6y + y) = -4 + 3 => -5y = -1 => y = 0.2.
بالتعويض: -x + 3(0.2) = 2 => -x + 0.6 = 2 => x = -1.4. الحل: (-1.4 ; 0.2).

التفصيل:

يعتمد هذا الحل على 'طريقة الجمع والتعويض' (Elimination Method) لحل جملة معادلتين خطيتين. رياضياً، الهدف من ضرب المعادلة الأولى في (-2) هو خلق 'معاملات متعاكسة' للمجهول x (أي 2 و -2)، بحيث يختفي هذا المجهول تماماً عند جمع المعادلتين. المصطلح الأساسي هنا هو 'الحذف بالاختزال'، والذي يحول الجملة من مجهولين إلى معادلة بسيطة بمجهول واحد (y). بمجرد إيجاد قيمة y، نستخدم 'التعويض التراجعي' في إحدى المعادلات الأصلية لاستخراج قيمة x، مما يعطينا نقطة تقاطع وحيدة تمثل الحل المشترك للجملة.

نصيحة:

إليك القاعدة الذهبية لاختيار طريقة الحل: إذا كان أحد المجهولين يملك المعامل 1 أو -1 (مثل x في المعادلة الأولى)، فإن طريقة الجمع هي الأسرع والأقل عرضة للأخطاء الحسابية. نصيحة احترافية: دائماً تأكد من ضرب 'كل' حدود المعادلة في العدد المختارة، بما في ذلك الطرف الذي بعد علامة التساوي؛ فنسيان ضرب الثابت (في هذا المثال الرقم 2) هو الخطأ الذي يقع فيه أغلب الطلاب ويؤدي لنتائج غير منطقية.

تمرين 07صفحة 61

كتابة الأعداد على شكل نسبة (تمرين 23)

الشرح:

اكتب كل عدد على شكل نسبة عددية ناطقة

التمرين:

حل تمرين 23

النتائج:

$\dfrac{2\sqrt{5}-2}{3\sqrt{7}}$ = \dfrac{2(\sqrt{5}-1)}{3\sqrt{7}}
$\dfrac{\sqrt{5}-3}{\sqrt{5}}$ = 1 - \dfrac{3\sqrt{5}}{5}
$\dfrac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} + 1
$\dfrac{2\sqrt{3}-6}{6}$ = \dfrac{\sqrt{3}-3}{3}

التفصيل:

هذا التمرين يركز على تبسيط العبارات الجبرية التي تحتوي على جذور تربيعية (Simplifying expressions with square roots) وتوحيد المقامات (Rationalization) عند الحاجة. في المثال الأول: \frac{2\sqrt{5}-2}{3\sqrt{7}}، يمكن إخراج العامل المشترك 2 من البسط: \frac{2(\sqrt{5}-1)}{3\sqrt{7}}، وهذا الشكل مبسط نسبيًا، لكن يمكن توحيد المقام بضرب البسط والمقام في \sqrt{7} ليصبح \frac{2(\sqrt{5}-1)\sqrt{7}}{21}. في المثال الثاني: \frac{\sqrt{5}-3}{\sqrt{5}}، نقسم الكسر إلى كسرين: \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} - \frac{3}{\sqrt{5}} = 1 - \frac{3}{\sqrt{5}}، ثم نوحد مقام الكسر الثاني: 1 - \frac{3\sqrt{5}}{5}. في المثال الثالث: \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} + 1، ثم توحيد المقام: \frac{2\sqrt{3}}{3} + 1. في المثال الرابع: \frac{2\sqrt{3}-6}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{6} - \frac{6}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} - 1 (أو \frac{\sqrt{3}-3}{3} بعد توحيد المقامات). هذه التبسيطات ضرورية لتوحيد أشكال العبارات الجبرية، مما يسهل المقارنة والجمع والطرح والعمليات الأخرى.

نصيحة:

الخطأ الأكثر شيوعًا في تبسيط الكسور ذات الجذور هو نسيان توزيع المقام على جميع حدود البسط عند فصل الكسر. مثلاً في \frac{\sqrt{5}-3}{\sqrt{5}}، قد يكتب الطالب خطأً \frac{\sqrt{5}-3}{\sqrt{5}} = 1 - 3 (وهو خطأ فادح). خطأ آخر هو عدم تبسيط الكسر إلى أبسط صورة، مثل ترك \frac{2\sqrt{3}}{6} دون اختصار إلى \frac{\sqrt{3}}{3}. نصيحة تربوية قيّمة: شجع الطلاب على كتابة الكسر كمجموع كسور منفصلة عندما يكون المقام واحدًا: \frac{A+B}{C} = \frac{A}{C} + \frac{B}{C}. ثم يبسطون كل كسر على حدة. تطبيق عملي: اطلب من الطلاب التحقق من صحة التبسيط بتعويض قيمة عددية تقريبية للجذور (مثل \sqrt{5} ≈ 2.236، \sqrt{3} ≈ 1.732، \sqrt{7} ≈ 2.646) في العبارة الأصلية والعبارة المبسطة، ومقارنة النتائج. على سبيل المثال، في المثال الثاني: العبارة الأصلية ≈ (2.236-3)/2.236 = (-0.764)/2.236 ≈ -0.3416، والعبارة المبسطة 1 - (3×2.236)/5 = 1 - (6.708/5) = 1 - 1.3416 = -0.3416، صحيح. هذا يعزز الفهم العددي والجبر معًا.

تمرين 23صفحة 27

نشر وتبسيط العبارات الجبرية (تمرين 3)

الشرح:

انشر وبسط كل عبارة مما يلي

التمرين:

حل تمرين 3

النتائج بعد النشر والتبسيط:

K = (2x+1)(x+2) = 2x·x + 2x·2 + 1·x + 1·2 = 2x² + 4x + x + 2 = 2x² + 5x + 2
L = (3x+2)(4x-5) = 3x·4x + 3x·(-5) + 2·4x + 2·(-5) = 12x² - 15x + 8x - 10 = 12x² - 7x - 10
M = (x-7)(1-x) = x·1 + x·(-x) -7·1 -7·(-x) = x - x² - 7 + 7x = -x² + 8x - 7
P = (-x-2)(5-x) = -x·5 + (-x)·(-x) -2·5 -2·(-x) = -5x + x² - 10 + 2x = x² - 3x - 10

التفصيل:

يعتمد هذا التمرين على مهارة 'نشر وتبسيط العبارات الجبرية' باستخدام خاصية التوزيع المزدوج. رياضياً، نقوم بضرب كل حد من القوس الأول في كل حد من القوس الثاني مع مراعاة دقيقة لقواعد الإشارات (مثل ضرب سالب في سالب الذي ينتج موجباً كما في العبارة P). بعد عملية النشر، ننتقل لمرحلة 'التبسيط' التي تعني جمع الحدود المتشابهة (الحدود التي تحتوي على نفس القوة للمجهول x)؛ حيث تُجمع المربعات معاً، والحدود من الدرجة الأولى معاً، والأعداد الثابتة وحدها. هذه العملية الجبرية ضرورية لتحويل العبارات من صيغة الجداء إلى صيغة المجموع، مما يسهل التعامل معها في حل المعادلات أو دراسة الدوال.

نصيحة:

إليك القاعدة الذهبية لتفادي الأخطاء: استخدم طريقة 'الأسهم' عند النشر لضمان عدم نسيان أي ضرب، وانتبه جيداً للإشارة التي تسبق العدد لأنها ملك له. نصيحة احترافية: عند التبسيط، ابدأ دائماً بالحد الأكبر درجة (مثل x^2) ثم الذي يليه، وقم بوضع علامة 'شطب' خفيفة على الحدود التي قمت بجمعها؛ فهذا يمنع تكرار حساب نفس الحد أو نسيانه ويجعل ورقتك منظمة وسهلة المراجعة.

تمرين 3صفحة 37