🌲 الشجرة التعليمية

تمرين 01 - جملة معادلتين من الدرجة الأولى

الشرح

ترجمة وضعية مشكلة إلى جملة معادلتين بمجهولين والتحقق من صحة الحلول المستنتجة.

التمرين 01 - صفحة 56

أ) التحقق من الفرضية (24 رجل و 8 نساء):

المجموع: 24 + 8 = 32 (صحيح).
بعد التقاعد: الرجال (24 - 5 = 19)، النساء (8 - 3 = 5).
التحقق من الشرط: 5 ليست ضعف 19، إذن الفرضية خاطئة.

ب) ترميز الوضعية وترجمتها:

نرمز لعدد الرجال بـ x وعدد النساء بـ y.
المعادلة 1: x + y = 32.
المعادلة 2: y - 3 = 2(x - 5).

جـ) تبسيط المعادلة والتحقق من الحل (13 ; 19):

تبسيط المعادلة (2): 2x - y = 7.
التحقق: 13 + 19 = 32 (محققة)، و 2(13) - 19 = 7 (محققة).

د) الاستنتاج النهائي:

عدد الرجال قبل التقاعد هو 13، وعدد النساء هو 19.

التفصيل

يعالج هذا التمرين مهارة 'ريضنة المشكلات' (Mathematical Modeling)، وهي عملية تحويل لغز لفظي إلى جملة من المعادلات الرياضية القابلة للحل. تبدأ المنهجية باختيار المجاهيل بدقة، حيث يمثل x و y المتغيرات المراد إيجادها، ثم صياغة القيود في شكل معادلات خطية تعبر عن 'الحالة الابتدائية' (المجموع الكلي) و'الحالة المتغيرة' (بعد تقاعد الموظفين). يبرز الحل أهمية الدقة في توزيع الضرب عند التعامل مع الأقواس في المعادلة الثانية، وكيفية التحقق من صحة النتائج عبر تعويض الثنائية (13, 19) في النسق الأصلي للمسألة. هذا النوع من التفكير المنطقي هو حجر الأساس في البرمجة الخطية واتخاذ القرار، حيث يتم تحويل البيانات الوصفية إلى بيانات كمية دقيقة تضمن الوصول إلى نتائج لا تقبل التأويل.

نصيحة

نصيحة تربوية هامة: عند مواجهة مسائل 'الجملة'، ابدأ دائماً باختبار منطقية الحل قبل الحساب. إذا قيل لك أن عدداً ما أصبح 'ضعف' الآخر بعد النقصان، فتوقع دائماً أن يكون التناسب متقارباً في البداية. common pitfall: يخطئ الكثيرون في وضع معامل الضرب (2) في الطرف الخطأ؛ تذكر دائماً أننا نضرب 'العدد الأصغر' في المعامل لنساويه بالعدد الأكبر (في هذه الحالة النساء ضعف الرجال، لذا نضرب جهة الرجال في 2). لا تنسَ أيضاً التحقق من أن إجاباتك أعداد طبيعية موجبة، ففي مسائل البشر (رجال ونساء) لا يمكن أبداً أن تجد كسوراً أو أعداداً سالبة، وإذا وجدت ذلك فاعلم أن هناك خللاً في صياغة معادلاتك.

التمرين: 01الصفحة: 56

📚

تمارين إضافية مقترحة

3 تمرين

تمرين 42 - جملة متراجحتين

الشرح:

إيجاد القيم التي تحقق متراجحتين في آن واحد وتمثيل الحلول بيانياً.

التمرين:

التمرين 42 - صفحة 53

1) حل المتراجحة الأولى: 0.5x - 3 ≤ x - 1 => -0.5x ≤ 2 => x ≥ -4

2) حل المتراجحة الثانية: -3x + 1 > 7x + 11 => -10x > 10 => x < -1

الخلاصة: قيم x التي تحقق المتراجحتين معاً هي: -4 ≤ x < -1

التفصيل:

هذا التمرين في الجبر يطبق حل نظام متباينات خطية (System of linear inequalities) بمجهول واحد، حيث نبحث عن تقاطع (Intersection) مجموعتي الحل لكل متباينة على حدة. المتباينة الأولى: 0.5x - 3 ≤ x - 1. ننقل 0.5x إلى الطرف الأيمن: -3 ≤ x - 1 - 0.5x → -3 ≤ 0.5x - 1. ثم نضيف 1 إلى الطرفين: -2 ≤ 0.5x. نضرب الطرفين في 2 (عدد موجب، فلا تنعكس الإشارة): -4 ≤ x، أي x ≥ -4. المتباينة الثانية: -3x + 1 > 7x + 11. ننقل -3x إلى الطرف الأيمن: 1 > 7x + 11 + 3x → 1 > 10x + 11. ثم نطرح 11 من الطرفين: -10 > 10x. نقسم على 10 (موجب): -1 > x، أي x < -1. الآن نوجد مجموعة الحل المشتركة: x ≥ -4 و x < -1. على خط الأعداد، نأخذ الجزء المظلل من -4 (مشمول لأن x ≥ -4) إلى -1 (غير مشمول لأن x < -1). إذن مجموعة الحل هي الفترة المغلقة من اليسار والمفتوحة من اليمين: -4 ≤ x < -1. هذا التمرين يبرز كيفية حل متباينات متعددة ثم دمجها باستخدام مفهوم التقاطع، وهو أساسي في تحديد مجالات تعريف الدوال وتحليل النظم في الرياضيات والفيزياء والاقتصاد.

نصيحة:

من الأخطاء الشائعة عند حل نظام المتباينات هو نسيان عكس الإشارة عند القسمة على عدد سالب، أو الخطأ في ترتيب العمليات عند نقل الحدود. في المتباينة الأولى، قد يكتب الطالب 0.5x - 3 ≤ x - 1 → -0.5x ≤ 2 (بعد طرح x وإضافة 3) ثم يقسم على -0.5 (عدد سالب) فيعكس الإشارة: x ≥ -4 (صحيح). في الثانية، -3x+1 > 7x+11 → -10x > 10 → x < -1 (صحيح). خطأ آخر هو كتابة مجموعة الحل النهائية بشكل خاطئ، مثلاً -4 > x < -1 أو -4 ≥ x > -1. نصيحة تربوية قيّمة: شجع الطلاب على تمثيل مجموعتي الحل على خطي أعداد منفصلين ثم دمجهما على خط ثالث. استخدام الألوان يساعد في التصور: لون أول بالأزرق، والثاني بالأحمر، والجزء المتداخل بالبنفسجي. تطبيق عملي: اطلب من الطلاب حل أنظمة مماثلة مثل: 2x+3 ≥ 5 و 3x-2 < 10 (الحل: x ≥ 1 و x < 4 → 1 ≤ x < 4)، أو x/2 -1 > 0 و 2x+1 ≤ 9 (الحل: x > 2 و x ≤ 4 → 2 < x ≤ 4).

تمرين 42صفحة 53

المثلث KBC القائم في B (تمرين 5)

الشرح:

حساب الوتر باستخدام فيثاغورس ثم استنتاج النسب المثلثية للزاوية K.

التمرين:

حل تمرين 5 صفحة 122

المثلث $KBC$ قائم في $B$ فيه $KB=14cm$ و $BC=17cm$.

حساب الوتر $KC$:
$KC^2 = KB^2 + BC^2 = 14^2 + 17^2 = 196 + 289 = 485$
$KC = \sqrt{485} \approx 22.02cm$
1) حساب $\tan \widehat{CKB}$:
$\tan \widehat{CKB} = \frac{BC}{KB} = \frac{17}{14} \approx 1.21$
2) حساب $\sin \widehat{CKB}$ و $\cos \widehat{CKB}$:
$\sin \widehat{CKB} = \frac{BC}{KC} = \frac{17}{\sqrt{485}} \approx 0.77$
$\cos \widehat{CKB} = \frac{KB}{KC} = \frac{14}{\sqrt{485}} \approx 0.64$

التفصيل:

يعتمد هذا التمرين على توظيف 'نظرية فيثاغورس' كخطوة تمهيدية ضرورية قبل حساب النسب المثلثية للزاوية الحادة \widehat{CKB}. رياضياً، قمنا بحساب طول الوتر KC أولاً لأن نسبتي الجيب (Sin) وجيب التمام (Cos) تتطلبان معرفة طول الوتر كقاعدة للمقام. يظهر التمرين الفروقات الجوهرية بين النسب الثلاث: فالظل (Tan) يربط بين الضلعين القائمين فقط، بينما الجيب يربط المقابل بالوتر، وجيب التمام يربط المجاور بالوتر. هذه العلاقات ثابتة في المثلث القائم وتسمح بوصف شكل المثلث وقياس زواياه بدقة رياضية عالية انطلاقاً من أطوال أضلاعه فقط.

نصيحة:

إليك القاعدة الذهبية للتحقق من منطقية نتائجك: يجب أن تكون قيمتا الجيب (Sin) وجيب التمام (Cos) دائماً محصورتين بين 0 و 1، لأن الوتر هو أطول ضلع في المثلث والقسمة على عدد أكبر تعطي دائماً ناتجاً أصغر من الواحد. نصيحة احترافية: إذا طلب منك حساب النسب الثلاث، ابدأ دائماً بالظل (Tan) لأنه يعتمد على المعطيات الأصلية للتمرين (17 و 14)، مما يحميك من انتقال أي خطأ محتمل قد ترتكبه أثناء حساب الوتر بالراديكال إلى بقية النتائج.

تمرين 5صفحة 122

حساب الأطوال باستخدام خاصية طاليس (تمرين 8)

الشرح:

تطبيق خاصية طاليس المباشرة في حالة توازي مستقيمين لحساب أطوال الأضلاع المجهولة في المثلث.

التمرين:

حل تمرين 8 صفحة 122

بما أن (NP) // (ML) والمستقيمان (MN) و (LP) يتقاطعان في A.

تطبيق خاصية طاليس: $\frac{AM}{AN} = \frac{AL}{AP} = \frac{ML}{NP}$
المعطيات: $AN=15$, $AM=9$, $AL=6$.
حساب الطول AP:
$\frac{9}{15} = \frac{6}{AP} \rightarrow AP = \frac{15 \times 6}{9} = 10cm$
حساب الطول LP:
$LP = AP - AL = 10 - 6 = 4cm$

التفصيل:

يعتمد هذا الحل على التطبيق المباشر لخاصية طاليس (Thales's Theorem) في شكل 'المثلث'، وهي قاعدة هندسية أساسية تربط بين توازي المستقيمات وتناسب أطوال الأضلاع المتقابلة. تبدأ المنهجية بتحديد شروط النظرية: أولاً، استقامية النقط (A, M, N) و (A, L, P)، وثانياً، وجود التوازي بين الضلعين (NP) و (ML). من خلال صياغة التناسبية في شكل ثلاث نسب متساوية \frac{AM}{AN} = \frac{AL}{AP} = \frac{ML}{NP}، نتمكن من عزل المجهول AP واستخدامه كجسر رياضي للوصول إلى المطلوب. تبرز هنا أهمية علاقة شال للأطوال، حيث أن طول القطعة LP ليس سوى الفرق الهندسي بين الضلع الكلي AP والجزء المعلوم منه AL، مما يوضح كيف تتكامل العمليات الحسابية مع التصور المكاني للأشكال الهندسية.

نصيحة:

من الأخطاء الكلاسيكية التي قد تضيع عليك النقاط هي البدء بنسب غير متناظرة، مثل وضع طول من المثلث الصغير فوق طول من المثلث الكبير في الكسر الأول ثم عكسهما في الكسر الثاني. لتجنب ذلك، التزم دائماً بقاعدة 'الصغير على الكبير' أو 'الكبير على الصغير' في جميع أطراف المساواة. نصيحة احترافية: قبل البدء بالحساب العددي، حاول اختزال الكسور المعطاة؛ فمثلاً النسبة \frac{9}{15} يمكن تبسيطها إلى \frac{3}{5} بقسمة الطرفين على 3، مما يجعل عملية الضرب في 6 والقسمة الذهنية أسرع بكثير وأقل عرضة للخطأ، خاصة في غياب الآلة الحاسبة.

تمرين 8صفحة 122