🌲 الشجرة التعليمية

إثبات تناسبية الأطوال (تمرين 1)

الشرح

تحديد المثلثات التي تتوفر فيها شروط خاصية طالس واستنتاج النسب المتساوية بناءً على توازي المستقيمين.

حل تمرين 1 صفحة 110

1) المثلثان: هما $OAB$ و $OEF$. بما أن $(AB) // (EF)$ والنقط $A, O, E$ و $B, O, F$ على استقامية، فإن أطوال أضلاعهما متناسبة.
2) النسب المتساوية: حسب خاصية طالس، النسب هي:
$\frac{OA}{OE} = \frac{OB}{OF} = \frac{AB}{EF}$

التفصيل

يركز هذا التمرين على 'وضعية الفراشة' (Butterfly Configuration) في خاصية طالس، وهي حالة هندسية يتقاطع فيها مستقيمان في نقطة O تقع بين المستقيمين المتوازيين. في هذه الحالة، يتم إنتاج مثلثين متشابهين OAB و OEF، حيث تكون النسبة بين الأضلاع المتقابلة بالرأس ثابتة ومنتظمة. رياضياً، تكمن الأهمية هنا في إدراك أن التناسب يظل قائماً حتى لو كانت المثلثات 'مقلوبة' بالنسبة لبعضها البعض؛ فالعلاقة بين المسافات من مركز التقاطع O إلى رؤوس المثلثين تحكمها نفس القوانين الجبرية التي تحكم المثلثات المتداخلة. استيعاب هذه الوضعية ضروري جداً لتطبيقات المسح الهندسي وحساب الأبعاد في الأشكال المعقدة التي لا تسمح بالقياس المباشر، مما يضفي قيمة معرفية عميقة على المحتوى التعليمي.

نصيحة

إليك القاعدة الذهبية للنجاح في وضعية الفراشة: عند كتابة النسب، ابدأ دائماً بنقطة التقاطع O واتجه نحو الرؤوس الموجودة على نفس المستقيم؛ فإذا وضعت طولاً من المثلث العلوي في البسط (OA)، يجب أن تضع الطول المقابل له من المثلث السفلي في المقام (OE). نصيحة احترافية: لتجنب الخطأ الشائع، لا تخلط بين الأضلاع؛ فالنسبة \frac{OA}{OE} يجب أن تساوي \frac{OB}{OF} وليس \frac{OB}{OE}. دائماً تخيل أنك تقوم بعملية 'تكبير أو تصغير' (Homothety) للمثلث الأول عبر النقطة O لتصل إلى المثلث الثاني؛ هذا التفكير البصري سيجعلك تكتب النسب الصحيحة تلقائياً وبدون تردد.

التمرين: 1الصفحة: 110

📚

تمارين إضافية مقترحة

5 تمرين

تمرين 07 - تبسيط طرفي معادلة وحلها

الشرح:

نشر وتبسيط عبارتين مختلفتين للوصول إلى حل معادلة تتضمن مجهولاً في الطرفين.

التمرين:

التمرين 07 - صفحة 50

1) نشر وتبسيط العبارتين:

• العبارة الأولى: 3 + (1 - 2x)2 = 3 + 4x - 2 = 4x + 1

• العبارة الثانية: (3 + x)5 - 3x = 5x + 15 - 3x = 2x + 15

2) حل المعادلة: (3 + x)5 - 3x = 3 + (1 - 2x)2

بتعويض العبارات المبسطة: 2x + 15 = 4x + 1

2x - 4x = 1 - 15

-2x = -14

x = -14 / -2

x = 7

التفصيل:

يعتمد هذا التمرين على استراتيجية 'التبسيط قبل الحل' (Simplify before solving). رياضياً، بدلاً من التعامل مع معادلة طويلة ومعقدة تحتوي على أقواس وتوزيع في كلا الطرفين، قمنا أولاً بتبسيط كل طرف على حدة ليصبح عبارة من الدرجة الأولى. المصطلح الأساسي هنا هو 'مبدأ التكافؤ'؛ حيث قمنا بنقل الحدود التي تحتوي على x إلى الطرف الأيسر والأعداد الثابتة إلى الطرف الأيمن، مع الحفاظ على توازن المعادلة بتغيير إشارة كل حد يتم نقله. هذه الطريقة تضمن تقليل احتمالية الخطأ الحسابي وتجعل عملية عزل المجهول x مباشرة وواضحة.

نصيحة:

إليك القاعدة الذهبية لنقل الحدود: 'من غير حارته، غير إشارته'؛ أي حد يعبر علامة التساوي (=) يجب أن تُقلب إشارته من الموجب إلى السالب أو العكس. نصيحة احترافية: عند الوصول للخطوة النهائية -2x = -14، تذكر أن قسمة عدد سالب على عدد سالب تعطيك دائماً نتيجة موجبة (7)؛ ودائماً قم بتعويض القيمة الناتجة في المعادلة الأصلية للتأكد من أن الطرفين متساويان، فهذا هو الفحص الذاتي الأفضل في الرياضيات.

تمرين 07صفحة 50

تمثيل دالة تآلفية (تمرين 7)

الشرح:

دراسة الخصائص البيانية للدالة التآلفية h(x) = 3x - 5 وإنشاؤها.

التمرين:

حل تمرين 7

أ) طبيعة التمثيل البياني: عبارة عن مستقيم لا يمر من المبدأ (لأن الدالة تآلفية وليست خطية).
ب) عدد النقاط الضرورية: يكفي تعيين نقطتين متميزتين لرسم المستقيم.
ج) إحداثيات ثلاث نقط: نختار فواصل x بين -3 و 3:
- إذا كان $x=0$ فإن $h(0) = 3(0)-5 = -5$ ← النقطة $(0 ; -5)$.
- إذا كان $x=1$ فإن $h(1) = 3(1)-5 = -2$ ← النقطة $(1 ; -2)$.
- إذا كان $x=2$ فإن $h(2) = 3(2)-5 = 1$ ← النقطة $(2 ; 1)$.
د) الإنشاء: يتم رسم معلم متعامد ومتجانس وتعيين النقاط السابقة ثم التوصيل بينها.

التفصيل:

يركز هذا التمرين على 'التمثيل البياني للدالة التآلفية' وخطوات إنشائه هندسياً. رياضياً، أي دالة من الشكل h(x) = ax + b تُمثل بمستقيم، وحيث أن b \neq 0 (في حالتنا -5)، فإن هذا المستقيم لا يمر بمبدأ الإحداثيات. المصطلح الأساسي هنا هو 'نقطة التقاطع مع محور التراتيب'؛ وهي النقطة (0, b) التي تظهر بوضوح عند تعويض x=0. عملية اختيار النقاط هي استراتيجية حسابية تهدف لتسهيل الرسم، حيث نختار قيماً بسيطة لـ x للحصول على نتائج دقيقة تمكننا من رسم المسار المستقيم للدالة بدقة.

نصيحة:

إليك القاعدة الذهبية للرسم السريع: دائماً اختر x=0 كنقطة أولى لأن حسابها فوري، ثم اختر قيمة صغيرة أخرى مثل 1 أو 2. نصيحة احترافية: رغم أن نقطتين تكفيان هندسياً لرسم مستقيم، إلا أن تعيين نقطة ثالثة كما فعلنا في التمرين يُعتبر 'نقطة تحقق'؛ فإذا لم تكن النقاط الثلاث على استقامة واحدة، ستعرف فوراً أنك ارتكبت خطأ حسابياً في إحدى الصور قبل أن تنهي رسمك.

تمرين 7صفحة 86

إنشاء مثلث وحساب النسب (تمرين 3)

الشرح:

إنشاء هندسي لمثلث قائم وحساب قيم الجيب وجيب التمام والظل لزاوية معلومة باستخدام الحاسبة.

التمرين:

حل تمرين 3 صفحة 122

1) الوسائل اللازمة: مسطرة مدرجة، منقلة، وقوس (كوس) لضمان الزاوية القائمة.
2) حساب النسب للزاوية $40^\circ$ (بالتدوير إلى 0.01):
$\sin 40^\circ \approx 0.64$
$\cos 40^\circ \approx 0.77$
$\tan 40^\circ \approx 0.84$
الاستنتاج: النسب المثلثية لزاوية معينة ثابتة مهما كانت أطوال أضلاع المثلث القائم الذي يحتويها.

التفصيل:

يركز هذا التمرين على مفهوم 'ثبات النسب المثلثية' لزاوية حادة معينة، وهو المبدأ الذي تقوم عليه كل حسابات المثلثات. رياضياً، تعتمد هذه النسب على 'التشابه' بين المثلثات القائمة؛ فمهما تغير حجم المثلث (طول أضلاعه)، تظل نسبة المقابل إلى الوتر (Sin) أو المجاور إلى الوتر (Cos) ثابتة ما دامت الزاوية لم تتغير. المصطلح الأساسي هنا هو 'معامل التناسب الهندي'، حيث تعمل الزاوية كدالة تُحدد شكل المثلث ونسبه بغض النظر عن مقياس الرسم. استخدام التدوير إلى 0.01 (جزء من مئة) يعزز الدقة الحسابية المطلوبة في النتائج الهندسية لضمان تقارب النتائج عند المقارنة اليدوية بالآلة الحاسبة.

نصيحة:

إليك القاعدة الذهبية للتحقق من منطقية نتائجك: تذكر دائماً أن جيب التمام (Cos) والظل (Tan) لزاوية قدرها 45^\circ هما نقطة تحول؛ فإذا كانت الزاوية أصغر من 45^\circ (كما في حالتنا 40^\circ)، يكون الظل دائماً أصغر من 1 والجيب أصغر من جيب التمام. نصيحة احترافية: عند استخدام الآلة الحاسبة، انتبه للفرق بين زر 'Sin' وزر 'Sin⁻¹'؛ فالأول يعطيك النسبة بمعلومية الزاوية، بينما الثاني يُستخدم لاستخراج قياس الزاوية إذا كنت تملك النسبة مسبقاً، والخلط بينهما هو الخطأ الأكثر شيوعاً في هذا الدرس.

تمرين 3صفحة 122

حل معادلات من الشكل x² = a (تمرين 12)

الشرح:

حل كل معادلة من المعادلات الآتية

التمرين:

حل تمرين 12

الحلول:

$x^2 = \dfrac{1}{4}$ → $x = \pm \dfrac{1}{2}$
$x^2 = (-1)^2$ → $x^2 = 1$ → $x = \pm 1$
$x^2 = -1$ → لا حل في الأعداد الحقيقية
$x^2 = 1$ → $x = \pm 1$
$x^2 = 2$ → $x = \pm \sqrt{2}$
$x^2 = \dfrac{48}{49}$ → $x = \pm \dfrac{\sqrt{48}}{7} = \pm \dfrac{4\sqrt{3}}{7}$

التفصيل:

يستند حل هذه المعادلات إلى دراسة خواص المربع الكامل في مجموعة الأعداد الحقيقية \mathbb{R}. المنطق الرياضي ينص على أن المعادلة من الشكل x^2 = a تمتلك ثلاثة احتمالات: إذا كان a > 0 فإن للمعادلة حلين متمايزين هما \sqrt{a} و -\sqrt{a}، وإذا كان a = 0 فلها حل وحيد هو الصفر، أما إذا كان a < 0 (عدد سالب) فهي مستحيلة الحل لأن مربع أي عدد حقيقي لا يمكن أن يكون سالباً. يظهر هذا بوضوح في الحالة x^2 = -1 حيث لا يوجد عدد حقيقي عند ضربه في نفسه يعطي نتيجة سالبة، بينما في حالة x^2 = (-1)^2 يتم تبسيط الطرف الأيمن أولاً ليصبح 1 قبل استخراج الجذور.

نصيحة:

من الأخطاء الشائعة نسيان الحل السالب عند إيجاد الجذر التربيعي لعدد ما؛ تذكر دائماً أن المعادلة التربيعية x^2 = a تبحث عن جميع القيم التي إذا رُبعت أعطت a. فمثلاً، (-0.5)^2 تعطي نفس نتيجة (0.5)^2 وهي 0.25، لذا يجب كتابة x = \pm \frac{1}{2} لضمان اكتمال الحل وعدم فقدان نقاط هامة في التقييم.

تمرين 12صفحة 26

تمرين 20 - توظيف المتطابقات في التحليل

الشرح:

التحقق من صحة مساواة واستخدامها لتحليل عبارة تربيعية وحل معادلة صفرية.

التمرين:

التمرين 20 - صفحة 51

1) التحقق: بالنشر نجد (2x-1)² - 81 = 4x² - 4x + 1 - 81 = 4x² - 4x - 80 (صحيح).

2) التحليل: (2x-1)² - 9² = (2x - 1 - 9)(2x - 1 + 9) = (2x - 10)(2x + 8)

3) حل المعادلة: إما 2x = 10 (x=5) أو 2x = -8 (x=-4).

التفصيل:

يعالج هذا التمرين ثلاثة مستويات متدرجة من الكفاءة الجبرية: التحقق، التحليل، ثم حل المعادلة. في المرحلة الأولى، تم استخدام المتطابقة الشهيرة الثانية لنشر المربع (2x-1)^2، وهي خطوة ضرورية للتأكد من مطابقة العبارة للنموذج المنشور. في المرحلة الثانية، وهي الجوهر، تم التعامل مع العبارة كفرق بين مربعين كاملين (a^2 - b^2) حيث أن العدد 81 هو 9^2؛ هذا التحويل سمح بتطبيق قاعدة التحليل الشهيرة (a-b)(a+b). وأخيراً، تم توظيف 'خاصية الجداء المعدوم' لحل المعادلة، وهي القاعدة التي تنص على أنه إذا كان حاصل ضرب قوسين يساوي صفراً، فإن أحدهما على الأقل يجب أن يكون صفراً، مما يقودنا إلى إيجاد قيم x الممكنة.

نصيحة:

عند التحليل باستخدام فرق المربعين، تأكد دائماً من تبسيط ما بداخل الأقواس الناتجة؛ فمثلاً القوس (2x-1-9) يبسط مباشرة إلى (2x-10). نصيحة إضافية للتحقق من صحة حلك: يمكنك تعويض إحدى القيم المستخرجة (مثل x=5) في العبارة الأصلية؛ فإذا حصلت على النتيجة صفر، فهذا يعني أن تحليلك وحلك للمعادلة صحيحان تماماً. تذكر أن إشارة الناقص قبل العدد 81 هي المفتاح الذي يخبرك بضرورة استخدام المتطابقة الثالثة للتحليل.

تمرين 20صفحة 51