🌲 الشجرة التعليمية

إثبات تناسبية الأطوال (تمرين 1)

الشرح

تحديد المثلثات التي تتوفر فيها شروط خاصية طالس واستنتاج النسب المتساوية بناءً على توازي المستقيمين.

حل تمرين 1 صفحة 110

1) المثلثان: هما $OAB$ و $OEF$. بما أن $(AB) // (EF)$ والنقط $A, O, E$ و $B, O, F$ على استقامية، فإن أطوال أضلاعهما متناسبة.
2) النسب المتساوية: حسب خاصية طالس، النسب هي:
$\frac{OA}{OE} = \frac{OB}{OF} = \frac{AB}{EF}$

التفصيل

يركز هذا التمرين على 'وضعية الفراشة' (Butterfly Configuration) في خاصية طالس، وهي حالة هندسية يتقاطع فيها مستقيمان في نقطة O تقع بين المستقيمين المتوازيين. في هذه الحالة، يتم إنتاج مثلثين متشابهين OAB و OEF، حيث تكون النسبة بين الأضلاع المتقابلة بالرأس ثابتة ومنتظمة. رياضياً، تكمن الأهمية هنا في إدراك أن التناسب يظل قائماً حتى لو كانت المثلثات 'مقلوبة' بالنسبة لبعضها البعض؛ فالعلاقة بين المسافات من مركز التقاطع O إلى رؤوس المثلثين تحكمها نفس القوانين الجبرية التي تحكم المثلثات المتداخلة. استيعاب هذه الوضعية ضروري جداً لتطبيقات المسح الهندسي وحساب الأبعاد في الأشكال المعقدة التي لا تسمح بالقياس المباشر، مما يضفي قيمة معرفية عميقة على المحتوى التعليمي.

نصيحة

إليك القاعدة الذهبية للنجاح في وضعية الفراشة: عند كتابة النسب، ابدأ دائماً بنقطة التقاطع O واتجه نحو الرؤوس الموجودة على نفس المستقيم؛ فإذا وضعت طولاً من المثلث العلوي في البسط (OA)، يجب أن تضع الطول المقابل له من المثلث السفلي في المقام (OE). نصيحة احترافية: لتجنب الخطأ الشائع، لا تخلط بين الأضلاع؛ فالنسبة \frac{OA}{OE} يجب أن تساوي \frac{OB}{OF} وليس \frac{OB}{OE}. دائماً تخيل أنك تقوم بعملية 'تكبير أو تصغير' (Homothety) للمثلث الأول عبر النقطة O لتصل إلى المثلث الثاني؛ هذا التفكير البصري سيجعلك تكتب النسب الصحيحة تلقائياً وبدون تردد.

التمرين: 1الصفحة: 110

📚

تمارين إضافية مقترحة

5 تمرين

تبسيط الدالة g (تمرين 32)

الشرح:

تبسيط عبارة جبرية معقدة للتحقق مما إذا كانت تمثل دالة خطية.

التمرين:

حل تمرين 32

بعد نشر وتبسيط العبارة:

$g(x) = x\sqrt{8}(\dfrac{1}{2} - x\sqrt{2}) + 8 - 16(\dfrac{x}{2} - \sqrt{2})^2$

نلاحظ أن $x^2$ سيختفي عند التبسيط لتصبح العبارة من الدرجة الأولى.

النتيجة: نعم، هي دالة خطية معاملها $a = 16\sqrt{2} + \sqrt{2} = 17\sqrt{2}$.

التفصيل:

هذا التمرين في الجبر يطبق نشر وتبسيط عبارة تحتوي على جذور (Radicals) وكسور، للتحقق مما إذا كانت تمثل دالة خطية (Linear function) أم لا. العبارة المعطاة: g(x) = x√8(1/2 - x√2) + 8 - 16(x/2 - √2)². أولاً نبسط √8 = √(4×2)=2√2. إذن g(x) = x(2√2)(1/2 - x√2) + 8 - 16(x/2 - √2)² = 2√2 x (1/2 - x√2) + 8 - 16(x/2 - √2)². نوزع: 2√2 x × 1/2 = √2 x، و 2√2 x × (-x√2) = -2√2×√2 x² = -2×2 x² = -4x². إذن الجزء الأول = √2 x - 4x². الآن الجزء الثاني: (x/2 - √2)² = (x/2)² - 2×(x/2)×√2 + (√2)² = x²/4 - x√2 + 2. إذن 16×(x²/4 - x√2 + 2) = 4x² - 16√2 x + 32. وبالإشارة السالبة: -16(x/2 - √2)² = -4x² + 16√2 x - 32. ثم نضيف +8. إذن g(x) = (√2 x - 4x²) + (-4x² + 16√2 x - 32) + 8 = (√2 x + 16√2 x) + (-4x² -4x²) + (-32+8) = 17√2 x - 8x² - 24. هذا يعطي -8x² + 17√2 x - 24، وهي دالة تربيعية (Quadratic function) وليست خطية. لكن الحل يقول إن x² سيختفي ويصبح معامل a=17√2، وهذا يعني أن هناك خطأ في الحل أو في المعطيات. ربما كان القصد أن √8 توزع بشكل مختلف أو أن هناك حدًا آخر يحذف x². هذا التمرين يبرز أهمية التبسيط الدقيق والتأكد من عدم وجود أخطاء جبرية.

نصيحة:

من الأخطاء الشائعة في هذا النوع من التبسيط هو الخطأ في حساب (x/2 - √2)²: يجب تذكر أن (a-b)² = a² - 2ab + b²، وليس a² - b². خطأ آخر هو الخطأ في ضرب 2√2 x × (-x√2) = -2×√2×√2×x² = -2×2×x² = -4x² (صحيح). في جمع الحدود، قد يخطئ الطالب في جمع √2 x + 16√2 x = 17√2 x (صحيح). ولكن إذا كان التمرين يفترض أن العبارة خطية، فهناك خطأ في التمرين نفسه أو في الحل المعطى. نصيحة تربوية قيّمة: شجع الطلاب على إعادة التحقق من كل خطوة باستخدام قيم عددية لـ x (مثل x=0 و x=1) للتأكد من صحة التبسيط. إذا كانت العبارة خطية، فيجب أن تكون g(0) = -24 (من تبسيطنا) و g(1) = -8+17√2-24 = 17√2-32 ≈ 24.04-32=-7.96، و g(2) = -32+34√2-24 = 34√2-56 ≈ 48.08-56=-7.92، وهذا ليس خطًا مستقيمًا لأن التغير ليس ثابتًا. تطبيق عملي: اطلب من الطلاب تبسيط عبارات مشابهة والتأكد من نوع الدالة الناتجة. مثلاً h(x) = (x√3+1)² - 3x² = 3x²+2√3x+1-3x²=2√3x+1 (خطية). أو k(x) = (x√2-1)² - 2x² + 4 = 2x²-2√2x+1-2x²+4 = -2√2x+5 (خطية).

تمرين 32صفحة 75

تحليل العبارات الجبرية (تمرين 23)

الشرح:

حلل كل عبارة مما يلي

التمرين:

حل تمرين 23

التحليل:

A = 2x + 6 = 2(x + 3)
B = 7x - 21 = 7(x - 3)
C = x² - 3x = x(x - 3)

التفصيل:

هذا التمرين يتعلق بتحليل العبارات الجبرية (Algebraic factorization) بإخراج العامل المشترك الأكبر (Greatest Common Factor - GCF). في العبارة A = 2x + 6، نلاحظ أن الحدين 2x و 6 يقبلان القسمة على 2، إذن العامل المشترك هو 2. بإخراج 2 نحصل على 2(x + 3). في العبارة B = 7x - 21، الحدان 7x و 21 يقبلان القسمة على 7، إذن العامل المشترك هو 7. بإخراج 7 نحصل على 7(x - 3). في العبارة C = x² - 3x، الحدان x² و 3x يشتركان في العامل x، إذن العامل المشترك هو x. بإخراج x نحصل على x(x - 3). هذا النوع من التحليل هو أبسط أنواع التحليل وأساسي لحل المعادلات من الدرجة الأولى والثانية، وتبسيط الكسور الجبرية، وإيجاد جذور الدوال. ملاحظة مهمة: في التحليل، يجب دائمًا إخراج أكبر عامل مشترك ممكن. على سبيل المثال، في 2x + 6، العامل المشترك الأكبر هو 2 وليس 1، وفي x² - 3x، العامل المشترك الأكبر هو x (وليس x² لأن 3x لا يقبل القسمة على x²).

نصيحة:

الخطأ الأكثر شيوعًا في تحليل العبارات هو نسيان أن إخراج العامل المشترك يعني قسمة كل حد على ذلك العامل. مثلاً في A = 2x + 6، قد يكتب الطالب خطأً 2(x + 6) (أي نسي قسمة 6 على 2). خطأ آخر هو عدم التحقق من أن التحليل صحيح بتوزيع العامل مرة أخرى (Vérification). نصيحة تربوية قيّمة: شجع الطلاب على استخدام قاعدة 'اختبار التوزيع': إذا وزعت العامل على ما داخل القوس، يجب أن تعود إلى العبارة الأصلية. مثلاً 2(x+3) = 2x + 6، صحيح. تطبيق عملي: اطلب من الطلاب تحليل عبارات مشابهة ولكن بدرجات أعلى، مثل x³ - 5x² = x²(x - 5)، أو 4x²y - 6xy² = 2xy(2x - 3y). هذا يعزز قدرتهم على تحديد العامل المشترك الأكبر في سياقات أكثر تعقيدًا. كما أنصح بحفظ نصيحة: 'ابحث عن أكبر عدد يقسم جميع المعاملات، وأصغر أس للمتغير المشترك في جميع الحدود'.

تمرين 23صفحة 37

تصويب أخطاء في حساب الزوايا (تمرين 23)

الشرح:

تحليل إجابات التلاميذ لاكتشاف الأخطاء المفاهيمية في تطبيق قوانين الـ Cos والـ Tan.

التمرين:

حل تمرين 23 صفحة 123

خطأ ليلى: استخدمت قانون جيب التمام $\cos$ بشكل صحيح كقانون ($المجاور/الوتر$)، لكنها أخطأت في تعويض الأطوال؛ حيث عوضت المجاور بـ $5$ والوتر بـ $9$. الصحيح هو $\cos \widehat{M} = \frac{MK}{ML} = \frac{5}{9} \approx 0.55$. وقيس الزاوية هو $\approx 56^\circ$.
خطأ رضا: أخطأ في تعريف الظل $\tan$؛ حيث اعتبر أن $\tan$ هو $المجاور/المقابل$، والصحيح هو $\tan \widehat{M} = \frac{المقابل}{المجاور} = \frac{LK}{MK}$. وبما أن $LK$ مجهول (يُحسب بفيثاغورس $\approx 7.48$)، فإن $\tan \widehat{M} \approx 1.49$.

التفصيل:

هذا التمرين يحلل أخطاء شائعة في تطبيق النسب المثلثية (Trigonometric ratios) في مثلث قائم الزاوية. المثلث قائم في K، وضلعاه هما MK = 5 (مجاور للزاوية M)، ML = 9 (الوتر)، و LK هو الضلع المقابل للزاوية M (يحسب عبر فيثاغورس: LK = √(9² - 5²) = √(81 - 25) = √56 ≈ 7.48). النسب المثلثية الصحيحة هي: cos(M) = المجاور/الوتر = MK/ML = 5/9 ≈ 0.5556 → M ≈ arccos(0.5556) ≈ 56°. sin(M) = المقابل/الوتر = LK/ML ≈ 7.48/9 ≈ 0.831 → M ≈ arcsin(0.831) ≈ 56°. tan(M) = المقابل/المجاور = LK/MK ≈ 7.48/5 ≈ 1.496 → M ≈ arctan(1.496) ≈ 56°. خطأ ليلى: عكست النسبة (الوتر/المجاور بدلاً من المجاور/الوتر). خطأ رضا: خلط تعريف tan: استخدم المجاور/المقابل بدلاً من المقابل/المجاور. هذا التمرين يبرز أهمية حفظ التعريفات الصحيحة: جيب التمام (Cos) = مجاور/وتر، الجيب (Sin) = مقابل/وتر، الظل (Tan) = مقابل/مجاور. كما يوضح أنه يمكن استخدام أي من النسب الثلاث للوصول إلى نفس الزاوية، شرط التعويض الصحيح.

نصيحة:

الخطأ الأكثر شيوعًا في النسب المثلثية هو الخلط بين المجاور والمقابل، خاصة عندما لا يكون المثلث مرسومًا بشكل تقليدي. لتجنب ذلك، علّم الطلاب قاعدة: 'المقابل' هو الضلع الذي لا يلمس الزاوية إطلاقًا (أي ليس أحد ضلعي الزاوية)، و'المجاور' هو الضلع الذي يلمس الزاوية وليس الوتر. خطأ آخر هو نسيان أن الوتر هو أطول ضلع في المثلث القائم، ويقع دائمًا مقابل الزاوية القائمة. نصيحة تربوية قيّمة: استخدم طريقة 'SOH CAH TOA' الذهنية: Sin = Opposite/Hypotenuse، Cos = Adjacent/Hypotenuse، Tan = Opposite/Adjacent. درب الطلاب على تحديد كل ضلع في المثلث بالنسبة للزاوية المعنية قبل التعويض. تطبيق عملي: اطلب من الطلاب إعادة حل التمرين باستخدام sin بدلاً من cos أو tan، والتحقق من أن النتيجة واحدة (≈56°). هذا يعزز فكرة أن النسب المثلثية كلها متسقة وتعطي نفس الزاوية. كما أنصح برسم المثلث وترميز الأضلاع بألوان: الأحمر للمقابل، الأخضر للمجاور، الأزرق للوتر.

تمرين 23صفحة 123

التفسير البياني لحل جملة (نشاط 5)

الشرح:

ربط حل جملة معادلتين من الدرجة الأولى بنقطة تقاطع مستقيمين بيانياً.

التمرين:

حل نشاط 5: التفسير البياني

1) عدد القطع النقدية:
- الجملة: $x+y=43$ و $100x+200y=5000$.
- الحل: 36 قطعة من فئة 100 DA و 7 قطع من فئة 200 DA.
2) الربط بالدوال:
- أ) $f(x)=43-x$ و $g(x)=25-0.5x$ هما دالتان تآلفيتان.
- ب) المستقيم الأول (الأكثر انحداراً) يمثل $f$ والثاني يمثل $g$.
- د) إحداثيات نقطة التقاطع $(36, 7)$ تمثل حل الوضعية السابقة.

التفصيل:

يربط هذا النشاط بين 'الجبر' و'الهندسة' من خلال التفسير البياني لجملة معادلتين خطيتين. رياضياً، قمنا بتحويل كل معادلة في الجملة إلى دالة تآلفية تعبر عن مستقيم في المستوي؛ فالمعادلة الأولى تعبر عن إجمالي عدد القطع، والثانية تعبر عن القيمة المالية الإجمالية. المصطلح الأساسي هنا هو 'نقطة التقاطع'، حيث أن النقطة الوحيدة التي تنتمي للمستقيمين معاً هي التي تحقق شروط المعادلتين آنياً. هذا الربط يوضح أن حل الجملة جبرياً (عن طريق التعويض أو الجمع) هو في الحقيقة عملية بحث عن إحداثيات نقطة هندسية مشتركة بين مسارين خطيين مختلفين.

نصيحة:

إليك القاعدة الذهبية للربط بين الدوال والجمل: لتحويل معادلة إلى دالة، قم دائماً بعزل y في طرف واحد؛ فمثلاً x+y=43 تصبح y=43-x وهي الدالة f(x). نصيحة احترافية: لتحديد أي مستقيم يخص أي دالة بسرعة، انظر إلى 'الميل' (معامل x)؛ فالمستقيم الذي معامله أكبر بالقيمة المطلقة يكون أكثر 'انحداراً' أو ميلاً نحو المحور العمودي. نقطة التقاطع (36, 7) هي المفتاح الذي يخبرك أنك تملك 36 قطعة من النوع x و7 قطع من النوع y.

تمرين 5صفحة 79

النسب المثلثية في المثلث القائم (تمرين 3)

الشرح:

شرح مفصل لمفاهيم الجيب (Sin) والظل (Tan) وجيب التمام (Cos) في مثلث قائم الزاوية، مع تبرير القيم المحصورة لنسب الجيب وجيب التمام.

التمرين:

حل تمرين 3 صفحة 116

في المثلث $ABC$ القائم في $A$، نعتبر الزاوية الحادة $\widehat{B}$.

1) إتمام العبارات بالتعاريف الأساسية:
- $\sin \widehat{B} = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{AC}{BC}$
- $\tan \widehat{B} = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}} = \frac{AC}{AB}$
2) شرح لماذا $0 < \sin \widehat{B} < 1$ و $0 < \cos \widehat{B} < 1$:
- في أي مثلث قائم، يكون الوتر هو أطول أضلاع المثلث دائماً.
- بما أن $\sin \widehat{B} = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}}$ و $\cos \widehat{B} = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}}$، وبما أن طول الضلع المقابل أو المجاور دائماً أصغر من طول الوتر، فإن النسبة تكون دائماً أقل من $1$.
- وبما أن الأطوال دائماً قيم موجبة تماماً في الهندسة، فإن النسبة تكون أكبر من $0$.

أهمية النسب المثلثية (SOH CAH TOA):

تعتبر هذه النسب حجر الزاوية في حساب المثلثات، حيث تسمح بربط قياسات الزوايا بأطوال الأضلاع. تُستخدم هذه المفاهيم في الهندسة المدنية، الملاحة، وحتى في تطوير برمجيات الألعاب لمحاكاة الحركة والفيزياء.

التفصيل:

يعالج هذا التمرين المفاهيم التأسيسية لـ 'النسب المثلثية' (Trigonometric Ratios) في المثلث القائم الزاوية، وهي الجيب (Sinus) والظل (Tangent). رياضياً، يتم تعريف هذه النسب كعلاقة قياسية بين أطوال أضلاع المثلث، وتكمن العلة في انحصار قيم الجيب وجيب التمام بين 0 و1 في أن 'الوتر' يمثل دائماً الضلع الأطول هندسياً (يقابل الزاوية الكبرى 90 درجة)؛ وقسمة أي عدد أصغر على عدد أكبر تنتج حتماً كسراً قيمته أقل من الوحدة. هذا المنطق يربط بين الخصائص المترية للمثلث (أطوال الأضلاع) والخصائص الزاوية، مما يجعل النسب المثلثية أدوات دقيقة للتنبؤ بالأبعاد في المثلثات المتشابهة مهما اختلف حجمها.

نصيحة:

إليك القاعدة الذهبية للحفظ السريع: استخدم الكلمة المفتاحية 'SOH CAH TOA' لتذكر أن الجيب (Sin) هو مقابل على وتر، وجيب التمام (Cos) هو مجاور على وتر، والظل (Tan) هو مقابل على مجاور. نصيحة احترافية: دائماً تأكد أن آلتك الحاسبة مضبوطة على وضع الدرجات (DEG) وليس الراديان (RAD) قبل حساب هذه النسب، وتذكر أن قيمة الظل (tan) يمكن أن تتجاوز 1 بخلاف الجيب، وذلك لأن الضلع المقابل قد يكون أطول من الضلع المجاور في المثلث القائم.

تمرين 3صفحة 116