🌲 الشجرة التعليمية

إثبات مثلث قائم وحساب الظل (تمرين 1)

الشرح

استخدام خاصية فيثاغورس العكسية لإثبات تعامد المثلث، ثم حساب ظل الزوايا الحادة.

حل تمرين 1 صفحة 122

1) إثبات أن المثلث JKL قائم في J:
لدينا أطوال الأضلاع: $JK = 7.8cm$, $JL = 10.4cm$, $KL = 13cm$.
نحسب مربعات الأطوال:
$KL^2 = 13^2 = 169$
$JK^2 + JL^2 = 7.8^2 + 10.4^2 = 60.84 + 108.16 = 169$
بما أن $KL^2 = JK^2 + JL^2$، فإنه حسب خاصية فيثاغورس العكسية، المثلث $JKL$ قائم في $J$.
2) حساب $\tan \widehat{K}$ و $\tan \widehat{L}$:
$\tan \widehat{K} = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}} = \frac{JL}{JK} = \frac{10.4}{7.8} = \frac{4}{3} \approx 1.33$
$\tan \widehat{L} = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}} = \frac{JK}{JL} = \frac{7.8}{10.4} = \frac{3}{4} = 0.75$

التفصيل

يجمع هذا التمرين بين ركيزتين أساسيتين في الهندسة: 'خاصية فيثاغورس العكسية' و'ظل الزاوية الحادة' (Tangent). رياضياً، نستخدم الخاصية العكسية لإثبات طبيعة المثلث؛ فإذا تساوى مربع الضلع الأطول مع مجموع مربعي الضلعين الآخرين، نتحقق يقيناً من وجود زاوية قائمة. بمجرد إثبات القائمية، ننتقل لعلم المثلثات لاستخراج 'الظل' ( an)، وهو النسبة التي تربط الضلع المقابل بالمجاور. تكمن الأهمية التعليمية هنا في إدراك أن الظل ليس مجرد رقم، بل هو مقياس لدرجة انحدار أو 'ميل' الضلع بالنسبة للآخر؛ فكلما كبرت قيمة الظل، كانت الزاوية أكثر حدة ومقابلة لضلع أطول. هذه المفاهيم هي الجوهر الرياضي المستخدم في تصميم السلالم، منحدرات الطرق، وحتى في برمجة المحركات الرسومية للألعاب لتحديد زوايا الرؤية والظل.

نصيحة

إليك القاعدة الذهبية لضبط نسب الظل دون ارتباك: تخيل أنك تقف عند رأس الزاوية المطلوبة؛ الضلع الذي 'تلمسه' بيدك (غير الوتر) هو المجاور، والضلع الذي 'ينظر إليه' بصرك هو المقابل. نصيحة احترافية: لاحظ في الحل أن \tan \widehat{K} هو مقلوب \tan \widehat{L} تماماً (4/3 مقابل 3/4)؛ هذه قاعدة ثابتة في المثلث القائم، حيث أن ظلي الزاويتين الحادتين يكونان دائماً مقلوبين لبعضهما البعض. إذا قمت بحساب أحدهما، يمكنك استنتاج الآخر فوراً بقلب الكسر، وهذا يوفر عليك الوقت ويضمن اتساق نتائجك الحسابية.

التمرين: 1الصفحة: 122

📚

تمارين إضافية مقترحة

3 تمرين

نشر وتبسيط العبارات الجبرية (تمرين 3)

الشرح:

انشر وبسط كل عبارة مما يلي

التمرين:

حل تمرين 3

النتائج بعد النشر والتبسيط:

K = (2x+1)(x+2) = 2x·x + 2x·2 + 1·x + 1·2 = 2x² + 4x + x + 2 = 2x² + 5x + 2
L = (3x+2)(4x-5) = 3x·4x + 3x·(-5) + 2·4x + 2·(-5) = 12x² - 15x + 8x - 10 = 12x² - 7x - 10
M = (x-7)(1-x) = x·1 + x·(-x) -7·1 -7·(-x) = x - x² - 7 + 7x = -x² + 8x - 7
P = (-x-2)(5-x) = -x·5 + (-x)·(-x) -2·5 -2·(-x) = -5x + x² - 10 + 2x = x² - 3x - 10

التفصيل:

يعتمد هذا التمرين على مهارة 'نشر وتبسيط العبارات الجبرية' باستخدام خاصية التوزيع المزدوج. رياضياً، نقوم بضرب كل حد من القوس الأول في كل حد من القوس الثاني مع مراعاة دقيقة لقواعد الإشارات (مثل ضرب سالب في سالب الذي ينتج موجباً كما في العبارة P). بعد عملية النشر، ننتقل لمرحلة 'التبسيط' التي تعني جمع الحدود المتشابهة (الحدود التي تحتوي على نفس القوة للمجهول x)؛ حيث تُجمع المربعات معاً، والحدود من الدرجة الأولى معاً، والأعداد الثابتة وحدها. هذه العملية الجبرية ضرورية لتحويل العبارات من صيغة الجداء إلى صيغة المجموع، مما يسهل التعامل معها في حل المعادلات أو دراسة الدوال.

نصيحة:

إليك القاعدة الذهبية لتفادي الأخطاء: استخدم طريقة 'الأسهم' عند النشر لضمان عدم نسيان أي ضرب، وانتبه جيداً للإشارة التي تسبق العدد لأنها ملك له. نصيحة احترافية: عند التبسيط، ابدأ دائماً بالحد الأكبر درجة (مثل x^2) ثم الذي يليه، وقم بوضع علامة 'شطب' خفيفة على الحدود التي قمت بجمعها؛ فهذا يمنع تكرار حساب نفس الحد أو نسيانه ويجعل ورقتك منظمة وسهلة المراجعة.

تمرين 3صفحة 37

تمرين 28 - علامات التلميذ والمعاملات

الشرح:

إيجاد علامتي الفرض والواجب المنزلي باستخدام المعدل الموزون.

التمرين:

التمرين 28 - صفحة 63

ليكن x علامة الفرض و y علامة الواجب:

الحالة 1: (2x + 1y) / 3 = 11 => 2x + y = 33.
الحالة 2 (تبادل المعاملات): (1x + 2y) / 3 = 13 => x + 2y = 39.
بحل الجملة نجد: x = 9 (علامة الفرض) و y = 15 (علامة الواجب).

التفصيل:

هذا التمرين في الجبر يطبق حل نظام معادلتين خطيتين (System of linear equations) في مسألة عن المعدلات الموزونة (Weighted averages). المعطيات: علامة التلميذ تحسب بمعدل علامتي الفرض (x) والواجب (y) بمعاملين مختلفين. في الحالة الأولى، معامل الفرض هو 2 ومعامل الواجب هو 1، والمعدل = 11. إذن (2x + 1y)/3 = 11 → 2x + y = 33. في الحالة الثانية، تبادل المعاملين: معامل الفرض = 1 ومعامل الواجب = 2، والمعدل = 13. إذن (1x + 2y)/3 = 13 → x + 2y = 39. الآن لدينا النظام: (1) 2x + y = 33، (2) x + 2y = 39. لحل النظام، نضرب المعادلة (1) في 2: 4x + 2y = 66، ثم نطرح المعادلة (2): (4x + 2y) - (x + 2y) = 66 - 39 → 3x = 27 → x = 9. بالتعويض في (1): 2(9) + y = 33 → 18 + y = 33 → y = 15. إذن علامة الفرض = 9، وعلامة الواجب = 15. التحقق: الحالة الأولى: (2×9 + 1×15)/3 = (18+15)/3 = 33/3 = 11، صحيح. الحالة الثانية: (1×9 + 2×15)/3 = (9+30)/3 = 39/3 = 13، صحيح. هذا التمرين يبرز كيفية بناء المعادلات من نص مسألة لفظية عن المعدلات الموزونة، وحل النظام باستخدام طريقة الجمع أو الطرح.

نصيحة:

من الأخطاء الشائعة في هذا التمرين هو نسيان القسمة على 3 عند كتابة المعادلة الأولى. قد يكتب الطالب 2x + y = 11 (بدون القسمة على 3) وهذا خطأ. خطأ آخر هو الخلط بين معاملات الفرض والواجب في الحالتين. بعض الطلاب قد يكتبون المعادلة الثانية بشكل خاطئ: x + 2y = 13 (بدون 3) أو 2x + y = 39 (عكس المعاملات). في حل النظام، الخطأ الشائع هو الخطأ في عملية الطرح: 4x + 2y = 66، طرح x + 2y = 39 يعطي 3x = 27 (صحيح)، ولكن قد يخطئ البعض في إشارات الطرح. نصيحة تربوية قيّمة: شجع الطلاب على التحقق من الحل في المعادلتين الأصليتين بعد إيجاد x و y. تطبيق عملي: اطلب من الطلاب حل مسائل مشابهة: 'معدل علامتي فرض وواجب بمعاملين 3 و 1 هو 12، وتبديل المعاملين يعطي معدل 14. أوجد العلامتين' (3x+y)/4=12 → 3x+y=48، (x+3y)/4=14 → x+3y=56، الحل: x=11، y=15). أو 'معدل علامتين بمعاملين 1 و 2 هو 10، وتبديل المعاملين يعطي معدل 8. أوجد العلامتين' (x+2y)/3=10 → x+2y=30، (2x+y)/3=8 → 2x+y=24، الحل: x=6، y=12). توسيع إضافي: اطلب من الطلاب التعميم: إذا كان المعدل الأول = m1 والمعدل الثاني = m2، فما هما x و y؟ (x = (2m1 - m2)×3/3؟ الأفضل حل النظام العام).

تمرين 28صفحة 63

تمرين 20 - توظيف المتطابقات في التحليل

الشرح:

التحقق من صحة مساواة واستخدامها لتحليل عبارة تربيعية وحل معادلة صفرية.

التمرين:

التمرين 20 - صفحة 51

1) التحقق: بالنشر نجد (2x-1)² - 81 = 4x² - 4x + 1 - 81 = 4x² - 4x - 80 (صحيح).

2) التحليل: (2x-1)² - 9² = (2x - 1 - 9)(2x - 1 + 9) = (2x - 10)(2x + 8)

3) حل المعادلة: إما 2x = 10 (x=5) أو 2x = -8 (x=-4).

التفصيل:

يعالج هذا التمرين ثلاثة مستويات متدرجة من الكفاءة الجبرية: التحقق، التحليل، ثم حل المعادلة. في المرحلة الأولى، تم استخدام المتطابقة الشهيرة الثانية لنشر المربع (2x-1)^2، وهي خطوة ضرورية للتأكد من مطابقة العبارة للنموذج المنشور. في المرحلة الثانية، وهي الجوهر، تم التعامل مع العبارة كفرق بين مربعين كاملين (a^2 - b^2) حيث أن العدد 81 هو 9^2؛ هذا التحويل سمح بتطبيق قاعدة التحليل الشهيرة (a-b)(a+b). وأخيراً، تم توظيف 'خاصية الجداء المعدوم' لحل المعادلة، وهي القاعدة التي تنص على أنه إذا كان حاصل ضرب قوسين يساوي صفراً، فإن أحدهما على الأقل يجب أن يكون صفراً، مما يقودنا إلى إيجاد قيم x الممكنة.

نصيحة:

عند التحليل باستخدام فرق المربعين، تأكد دائماً من تبسيط ما بداخل الأقواس الناتجة؛ فمثلاً القوس (2x-1-9) يبسط مباشرة إلى (2x-10). نصيحة إضافية للتحقق من صحة حلك: يمكنك تعويض إحدى القيم المستخرجة (مثل x=5) في العبارة الأصلية؛ فإذا حصلت على النتيجة صفر، فهذا يعني أن تحليلك وحلك للمعادلة صحيحان تماماً. تذكر أن إشارة الناقص قبل العدد 81 هي المفتاح الذي يخبرك بضرورة استخدام المتطابقة الثالثة للتحليل.

تمرين 20صفحة 51