🌲 الشجرة التعليمية

إثبات مثلث قائم وحساب الظل (تمرين 1)

الشرح

استخدام خاصية فيثاغورس العكسية لإثبات تعامد المثلث، ثم حساب ظل الزوايا الحادة.

حل تمرين 1 صفحة 122

1) إثبات أن المثلث JKL قائم في J:
لدينا أطوال الأضلاع: $JK = 7.8cm$, $JL = 10.4cm$, $KL = 13cm$.
نحسب مربعات الأطوال:
$KL^2 = 13^2 = 169$
$JK^2 + JL^2 = 7.8^2 + 10.4^2 = 60.84 + 108.16 = 169$
بما أن $KL^2 = JK^2 + JL^2$، فإنه حسب خاصية فيثاغورس العكسية، المثلث $JKL$ قائم في $J$.
2) حساب $\tan \widehat{K}$ و $\tan \widehat{L}$:
$\tan \widehat{K} = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}} = \frac{JL}{JK} = \frac{10.4}{7.8} = \frac{4}{3} \approx 1.33$
$\tan \widehat{L} = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}} = \frac{JK}{JL} = \frac{7.8}{10.4} = \frac{3}{4} = 0.75$

التفصيل

يجمع هذا التمرين بين ركيزتين أساسيتين في الهندسة: 'خاصية فيثاغورس العكسية' و'ظل الزاوية الحادة' (Tangent). رياضياً، نستخدم الخاصية العكسية لإثبات طبيعة المثلث؛ فإذا تساوى مربع الضلع الأطول مع مجموع مربعي الضلعين الآخرين، نتحقق يقيناً من وجود زاوية قائمة. بمجرد إثبات القائمية، ننتقل لعلم المثلثات لاستخراج 'الظل' ( an)، وهو النسبة التي تربط الضلع المقابل بالمجاور. تكمن الأهمية التعليمية هنا في إدراك أن الظل ليس مجرد رقم، بل هو مقياس لدرجة انحدار أو 'ميل' الضلع بالنسبة للآخر؛ فكلما كبرت قيمة الظل، كانت الزاوية أكثر حدة ومقابلة لضلع أطول. هذه المفاهيم هي الجوهر الرياضي المستخدم في تصميم السلالم، منحدرات الطرق، وحتى في برمجة المحركات الرسومية للألعاب لتحديد زوايا الرؤية والظل.

نصيحة

إليك القاعدة الذهبية لضبط نسب الظل دون ارتباك: تخيل أنك تقف عند رأس الزاوية المطلوبة؛ الضلع الذي 'تلمسه' بيدك (غير الوتر) هو المجاور، والضلع الذي 'ينظر إليه' بصرك هو المقابل. نصيحة احترافية: لاحظ في الحل أن \tan \widehat{K} هو مقلوب \tan \widehat{L} تماماً (4/3 مقابل 3/4)؛ هذه قاعدة ثابتة في المثلث القائم، حيث أن ظلي الزاويتين الحادتين يكونان دائماً مقلوبين لبعضهما البعض. إذا قمت بحساب أحدهما، يمكنك استنتاج الآخر فوراً بقلب الكسر، وهذا يوفر عليك الوقت ويضمن اتساق نتائجك الحسابية.

التمرين: 1الصفحة: 122

📚

تمارين إضافية مقترحة

3 تمرين

المحيط والمساحة والتناسبية (تمرين 17)

الشرح:

دراسة التناسبية بين نصف القطر والمحيط والمساحة لقرص.

التمرين:

حل تمرين 17

1) إتمام الجدول (القوانين: $P = 2\pi r$ و $A = \pi r^2$):

$r=3$: $P=6\pi$, $A=9\pi$
$r=8$: $P=16\pi$, $A=64\pi$
$A=90.25\pi$: $r=\sqrt{90.25}=9.5$, $P=19\pi$

2) A و P غير متناسبان: لأن النسبة $A/P = r/2$ ليست ثابتة.

3) A و r غير متناسبان: لأن النسبة $A/r = \pi r$ ليست ثابتة.

التفصيل:

يعتمد هذا التمرين على تطبيق القوانين الهندسية الأساسية للدائرة، حيث يتم حساب المحيط باستخدام العلاقة P = 2\pi r والمساحة باستخدام A = \pi r^2. يركز الحل على مفهوم التناسبية في العلاقات الرياضية؛ فبينما يزداد المحيط والمساحة مع زيادة نصف القطر، إلا أن نمو المساحة يكون أسياً (تربيعياً) وليس خطياً. من خلال تحليل النسب، نستنتج أن العلاقة بين المساحة ونصف القطر (أو المحيط) لا تمثل وضعية تناسبية لأن ناتج قسمتهما ليس عدداً ثابتاً، بل يتغير بتغير قيمة r، مما يوضح الفرق الجوهري بين الدوال الخطية والدوال التربيعية في الهندسة.

نصيحة:

للتمييز بسرعة بين التناسب وعدم التناسب في الأشكال الهندسية، تذكر أن الأطوال (مثل المحيط) تتناسب طردياً مع نصف القطر، بينما المساحات تتناسب مع 'مربع' نصف القطر. هذا يعني أنه إذا تضاعف نصف القطر مرتين، سيتضاعف المحيط مرتين أيضاً (تناسب)، لكن المساحة ستتضاعف أربع مرات (2^2)، مما يكسر قاعدة التناسب المباشر.

تمرين 17صفحة 73

حساب التخفيضات المتتابعة (تمرين 24)

الشرح:

حساب السعر النهائي ونسبة التخفيض الإجمالية بعد تخفيضين متتاليين بنسبة 3% و 4%.

التمرين:

حل تمرين 24 صفحة 89

1) حساب السعر الجديد:
- السعر الأصلي: $48,000 \text{ DA}$.
- المعامل الضربي للتخفيض الأول (3%): $k_1 = 1 - 0.03 = 0.97$.
- المعامل الضربي للتخفيض الثاني (4%): $k_2 = 1 - 0.04 = 0.96$.
- السعر النهائي: $48,000 \times 0.97 \times 0.96 = 44,697.6 \text{ DA}$.
2) النسبة المئوية الكلية للتخفيض:
- المعامل الإجمالي: $K = 0.97 \times 0.96 = 0.9312$.
- نسبة التخفيض الكلية: $P = (1 - 0.9312) \times 100 = 6.88\%$.

التفصيل:

هذا التمرين المتقدم في الرياضيات المالية والاقتصاد يطبق مفهوم المعاملات الضربية المتتالية (Successive multiplicative coefficients) لحساب السعر النهائي بعد تطبيق نسب تخفيض متتابعة، وكذلك حساب نسبة التخفيض الكلية (الإجمالية) بدقة. عند تطبيق تخفيض بنسبة معينة، فإن المعامل الضربي (Multiplicative factor) يُحسب بالعلاقة: k = 1 - (النسبة المئوية / 100). فالتخفيض الأول بنسبة 3% يعطي معامل 0.97، والتخفيض الثاني بنسبة 4% يعطي معامل 0.96. السعر النهائي يُحسب بضرب السعر الأصلي في المعاملين معًا: 48,000 × 0.97 × 0.96 = 44,697.6 DA. من المهم ملاحظة أن ترتيب التخفيضات لا يؤثر على النتيجة النهائية لأن عملية الضرب تبادلية (Commutative property)، أي 0.97 × 0.96 = 0.96 × 0.97. لحساب نسبة التخفيض الكلية، نضرب المعاملين أولاً: K = 0.97 × 0.96 = 0.9312. هذا يعني أن السعر النهائي يساوي 93.12% من السعر الأصلي، وبالتالي فإن نسبة التخفيض الكلية هي 100% - 93.12% = 6.88%، وليس 7% (وهو مجموع 3% + 4%). هذا الفرق (0.12%) يوضح حقيقة رياضية هامة: التخفيضات المتتالية تعطي نسبة تخفيض كلية أقل من مجموع النسب الفردية لأن كل تخفيض يُطبق على قيمة أصبحت أصغر من سابقتها. هذا المفهوم يمتد ليشمل الزيادات المتتالية، الفوائد المركبة، والنمو السكاني، وهو أساسي في فهم الرياضيات المالية والاقتصاد الجزئي، حيث تُستخدم هذه الحسابات في تحديد الأسعار بعد الخصومات الموسمية المتعددة، أو حساب القيمة المستقبلية للاستثمارات ذات العوائد المركبة، أو تقدير الانخفاض التدريجي لقيمة الأصول (الاستهلاك). كما يبرز التمرين أهمية التمييز بين النسبة المئوية البسيطة (Simple percentage) والنسبة المئوية المركبة (Compound percentage)، حيث أن الأولى تُطبق على القيمة الأصلية بينما الثانية تُطبق على القيمة المتغيرة باستمرار، مما يؤدي إلى نتائج مختلفة تمامًا على المدى الطويل، وهو مفهوم جوهري في التخطيط المالي الشخصي وتحليل الاستثمارات.

نصيحة:

من أكثر الأخطاء شيوعًا بين الطلاب وحتى بعض المتخصصين المبتدئين في حساب التخفيضات المتتالية هو جمع النسب المئوية مباشرة (3% + 4% = 7%) ثم تطبيق تخفيض واحد بنسبة 7%، فيحصلون على سعر 48,000 × 0.93 = 44,640 DA، وهو أقل من القيمة الصحيحة 44,697.6 DA بفارق 57.6 DA. هذا الخطأ يتضخم مع زيادة عدد التخفيضات أو كبر النسب المئوية. خطأ شائع آخر هو حساب قيمة كل تخفيض على حدة من السعر الأصلي (48,000 × 0.03 = 1,440 و 48,000 × 0.04 = 1,920، المجموع = 3,360، ثم السعر النهائي = 48,000 - 3,360 = 44,640) وهو نفس الخطأ السابق. بعض الطلاب قد يخطئون أيضًا في ترتيب العمليات الحسابية، فيضربون 0.97 × 0.96 = 0.9312 ثم ينسون ضرب السعر الأصلي، أو يحسبون النسبة الكلية بشكل خاطئ (0.9312 × 100 = 93.12% ويعتبرونها نسبة التخفيض بدلاً من النسبة المتبقية). نصيحة تربوية قيّمة ومبتكرة: استخدم نموذج 'الورقة المنكمشة' لتوضيح الفكرة - تخيل ورقة طولها 100 وحدة، تُقلص بنسبة 3% فتصبح 97 وحدة، ثم تُقلص الـ 97 وحدة بنسبة 4% (أي 3.88 وحدة إضافية)، فتصبح 93.12 وحدة، أي انكماش كلي 6.88% وليس 7%. هذا التصور البصري يساعد الطلاب على تذكر أن النسبة الثانية تُطبق على المقدار المتبقي وليس الأصلي. تطبيق عملي ممتد: اطلب من الطلاب حساب النتيجة في ثلاث سيناريوهات مختلفة: (أ) تخفيض 3% ثم 4% (كما في التمرين)، (ب) تخفيض 4% ثم 3% (النتيجة نفسها)، (ج) تخفيض واحد 7% (نتيجة مختلفة). ثم اطلب منهم تفسير الفرق باستخدام كلماتهم الخاصة. توسيع إضافي: اطلب من الطلاب حساب السعر النهائي إذا تم تطبيق تخفيض 3%، ثم زيادة 4% على السعر الجديد (لاحظوا أن 0.97 × 1.04 = 1.0088 أي زيادة 0.88% وليس 1%). كما يمكن تحويل التمرين إلى مسالة استثمارية: 'إذا انخفضت قيمة سهم بنسبة 3% ثم ارتفعت بنسبة 4%، فهل يعود إلى سعره الأصلي؟' الجواب: لا، لأنه 0.97 × 1.04 = 1.0088 أي زيادة 0.88%.

تمرين 24صفحة 89

تمرين 10 - حل جملة بحالات خاصة

الشرح:

حل جمل معادلات تتضمن مساواة مباشرة بين المجهولين.

التمرين:

التمرين 10 - صفحة 61

ب) حل الجملة:

بما أن x = y، نعوض في الثانية: 3y + 2y = 0 => 5y = 0 => y = 0.
ومنه x = 0. الحل هو (0 ; 0).

التفصيل:

يعتمد حل هذه الجملة على طريقة 'التعويض المباشر' (Substitution Method)، وهي التقنية الأمثل عندما تكون إحدى المعادلتين تقدم علاقة صريحة وبسيطة بين المجهولين. في هذه الحالة، المعادلة الأولى x = y تخبرنا أن القيمتين متطابقتين تماماً، مما يسمح لنا باستبدال كل مجهول x في المعادلة الثانية بالمجهول y. هذا الإجراء يحول الجملة المعقدة إلى معادلة خطية بسيطة بمجهول واحد (5y = 0). وبما أن ناتج ضرب 5 في أي عدد لا يكون صفراً إلا إذا كان ذلك العدد هو الصفر نفسه، نستنتج أن y = 0، وبالضرورة x = 0 تبعاً للمعادلة الأولى. النتيجة (0 ; 0) تعني أن المستقيمين الممثلين لهذه الجملة يتقاطعان في نقطة واحدة وهي مبدأ المعلم (The Origin).

نصيحة:

عندما ترى معادلة مثل x = y أو x = 2y في جملة معادلات، لا تتردد في استخدام التعويض فوراً؛ فهي أسرع بكثير من محاولة مساواة المعاملات والجمع. تذكر دائماً أن الحل الصفرِي (0 ; 0) هو حل رياضي صحيح تماماً وشائع في المسائل التي لا تحتوي على 'حدود ثابتة' (أي أن كل طرف في المعادلة يحتوي على متغير). نصيحة تنظيمية: دائماً ابدأ بالتعويض في المعادلة التي لم تستخدمها بعد لاستخراج العلاقة، لضمان عدم الوقوع في دوامة حسابية دائرية.

تمرين 10صفحة 61