🌲 الشجرة التعليمية

تحديد الدوال التآلفية (تمرين 1)

الشرح

تمييز الدوال التآلفية من بين عدة عبارات جبرية بناءً على الشكل العام ax + b.

حل تمرين 1

الدوال التآلفية هي التي تكتب على الشكل $ax + b$:

$h(x) = -\sqrt{2}x + 1$ (تآلفية)
$g(x) = \frac{1}{2}x$ (تآلفية وخطية)
$k(x) = \frac{1}{8}$ (تآلفية ثابتة)
أما $f$ و $t$ و $p$ فليست تآلفية لوجود $x$ في المقام أو كقوة.

التفصيل

يركز هذا التمرين على مهارة التصنيف الجبري للدوال، وتحديداً تمييز 'الدالة التآلفية' (Affine Function) التي تعد الحجر الزواية في الهندسة التحليلية. رياضياً، تُعرف الدالة التآلفية بقدرتها على الحفاظ على معدل تغير ثابت، وصيغتها العامة f(x) = ax + b تشمل حالات خاصة هامة؛ فإذا كان b=0 تصبح 'دالة خطية' تمر بالمبدأ، وإذا كان a=0 تصبح 'دالة ثابتة' توازي محور الفواصل. التمييز الدقيق المعروض هنا يوضح أن أي تغيير في بنية المتغير x، كوضعه في المقام (دالة مقلوب) أو رفعه لقوة (دالة تربيعية)، يخرج الدالة فوراً من نطاق 'التآلفية' لأن تمثيلها البياني لن يعود مستقيماً. استيعاب هذه الفروق الجوهرية يساعد الطلاب على فهم 'الخطية' كمفهوم رياضي عميق يتجاوز مجرد الشكل، ليمتد إلى خصائص التناسب والنمو المنتظم.

نصيحة

إليك اختبار 'العين المجردة' لتحديد نوع الدالة بسرعة: ابحث دائماً عن المتغير x. لكي تكون الدالة تآلفية، يجب أن يكون x في البسط، غير مغطى بجذر، وغير مرفوع لأي قوة (أس) غير الواحد. Common pitfall: يظن البعض أن وجود جذر تربيعي في المعامل مثل -\sqrt{2} يجعل الدالة غير تآلفية، وهذا خطأ؛ فالمعامل a يمكن أن يكون أي عدد حقيقي (جذري أو أصم)، المهم هو المتغير x نفسه. تذكر دائماً: الدالة التآلفية هي 'دالة المستقيم'، فإذا تخيلت رسمها البياني ووجدته ينحني أو ينكسر، فهي حتماً ليست تآلفية.

التمرين: 1الصفحة: 86

📚

تمارين إضافية مقترحة

4 تمرين

تخفيض سعر كتاب (تمرين 20)

الشرح:

حساب السعر الجديد بعد تخفيض بنسبة 6%.

التمرين:

حل تمرين 20

مقدار التخفيض: $560 \times 0.06 = 33.6$ DA

السعر الجديد: $560 - 33.6 = 526.4$ DA

التفصيل:

يعالج هذا التمرين مفهوم النسبة المئوية وتطبيقاتها التجارية، وتحديداً كيفية حساب 'التخفيض'. تعتمد المنهجية على مرحلتين: الأولى هي تحويل النسبة المئوية (6%) إلى معامل عشري (0.06) وضربه في السعر الأصلي لاستخراج القيمة النقدية التي سيتم حسمها. المرحلة الثانية هي عملية طرح بسيطة لنقل السعر من قيمته الكاملة إلى قيمته المخفضة. رياضياً، يمكن دمج هاتين الخطوتين في عملية واحدة عبر ضرب السعر الأصلي في (1 - 0.06) أي في 0.94 مباشرة للحصول على السعر الجديد، وهو ما يسمى 'معامل التصغير' الذي يختصر الوقت ويقلل احتمالية الخطأ في الحسابات المتعددة.

نصيحة:

عند حساب التخفيض ذهنياً، تذكر أن 6% هي ببساطة 1% مكررة ست مرات؛ وبما أن 1% من 560 هي 5.6، فإن ضربها في 6 يعطيك 33.6 بسرعة. قاعدة ذهبية أخرى: دائماً تأكد أن السعر الجديد 'أقل' من السعر الأصلي عند التخفيض، و'أكبر' منه عند الزيادة (مثل الضرائب أو الأرباح). إذا كنت تستخدم الآلة الحاسبة، يمكنك كتابة العملية كالتالي: 560 \times 94\% = 526.4 للحصول على النتيجة النهائية في خطوة واحدة ودقيقة. عند حساب التخفيض ذهنياً، تذكر أن 6% هي ببساطة 1% مكررة ست مرات؛ وبما أن 1% من 560 هي 5.6، فإن ضربها في 6 يعطيك 33.6 بسرعة. قاعدة ذهبية أخرى: دائماً تأكد أن السعر الجديد 'أقل' من السعر الأصلي عند التخفيض، و'أكبر' منه عند الزيادة (مثل الضرائب أو الأرباح). إذا كنت تستخدم الآلة الحاسبة، يمكنك كتابة العملية كالتالي: 560 \times 94\% = 526.4 للحصول على النتيجة النهائية في خطوة واحدة ودقيقة.

تمرين 20صفحة 73

العرض الترويجي (تمرين 34)

الشرح:

حساب المبلغ المدفوع بعد تطبيق خصم 10 دينار لكل 1000 دينار من المشتريات.

التمرين:

حل تمرين 34

إجمالي المشتريات: $48000 + 2400 = 50400$ DA.

عدد مرات الخصم: $50400 / 1000 = 50.4$ (نأخذ 50 مرة لأن الخصم لكل 1000 كاملة).

قيمة الخصم: $50 \times 10 = 500$ DA.

المبلغ المدفوع: $50400 - 500 = 49900$ DA.

التفصيل:

هذا التمرين في الرياضيات التطبيقية (Applied mathematics) يطبق مفهوم الخصم التدريجي (Progressive discount) بناءً على فئات المبلغ المشتراة. المعطيات: العميل اشترى سلعة بـ 48,000 دينار ثم أضاف سلعة أخرى بـ 2,400 دينار، ليصبح إجمالي المشتريات = 50,400 دينار. العرض: يحصل العميل على خصم 10 دنانير لكل 1,000 دينار من إجمالي المشتريات (أي 1% خصم). ولكن الخصم يُحتسب فقط على الألفيات الكاملة (أي الأجزاء الصحيحة من 1,000). لحساب عدد مرات الخصم: 50,400 ÷ 1,000 = 50.4، إذن عدد الألفيات الكاملة = 50 (لأن الـ 0.4 لا تكوّن ألفًا كاملاً). قيمة الخصم = 50 × 10 = 500 دينار. المبلغ المدفوع = 50,400 - 500 = 49,900 دينار. هذا التمرين يبرز أهمية التعامل مع القسمة الصحيحة (Integer division) في سياقات الحياة اليومية مثل برامج الولاء والمكافآت، حيث لا يتم منح الخصم إلا عند اكتمال الشرط.

نصيحة:

من الأخطاء الشائعة في هذا التمرين هو تقريب 50.4 إلى 51 (أخذ الألفية غير الكاملة)، مما يعطي خصماً أكبر (510 دينار) ومبلغاً مدفوعاً أقل (49,890). خطأ آخر هو نسيان أن الخصم يُحسب على الإجمالي وليس على كل منتج على حدة. بعض الطلاب قد يحسبون الخصم على 48,000 فقط (48×10=480) ثم على 2,400 (2×10=20) فيجمعون 500 (نفس النتيجة هنا بالصدفة لأن 2,400 تعطي ألفيتين كاملتين). لكن لو كان المبلغ الإضافي 1,900 مثلاً، كان سيختلف. نصيحة تربوية قيّمة: شجع الطلاب على تحديد عدد الألفيات الكاملة باستخدام دالة الجزء الصحيح (Floor function) أو القسمة الصحيحة. تطبيق عملي: اطلب من الطلاب حساب المبلغ المدفوع إذا كان إجمالي المشتريات 63,200 دينار بنفس نظام الخصم (63200/1000=63.2 → 63 ألفية → خصم=630 → مدفوع=63200-630=62570). أو تغيير نظام الخصم: خصم 15 دينار لكل 500 دينار (عدد الخمسمئات الكاملة). توسيع إضافي: اطلب من الطلاب كتابة دالة (أو تعبير جبري) للمبلغ المدفوع بدلالة الإجمالي T: المدفوع = T - 10 × ⌊T/1000⌋.

تمرين 34صفحة 75

تمرين 18 - أبعاد حقل مستطيل

الشرح:

حساب طول وعرض مستطيل انطلاقاً من محيطه وتغير مساحته (أو محيطه) عند تعديل الأبعاد.

التمرين:

التمرين 18 - صفحة 61

ليكن الطول L والعرض l:

المعادلة 1: 2(L + l) = 220 => L + l = 110.
المعادلة 2: تعتمد على نص التغير (نقص الطول بـ 2 وزيادة العرض بـ 2 يحافظ على المحيط)، يرجى التأكد من المطلوب الأخير في المسألة لإكمال الحل.

التفصيل:

تتمثل المنهجية المتبعة في حل هذه المسألة الهندسية في ترجمة الخصائص الفيزيائية للمستطيل إلى معادلات جبرية. تعتمد المعادلة الأولى على قانون محيط المستطيل P = 2(L + l)، حيث أدى تبسيطها بقسمة الطرفين على 2 إلى الحصول على نصف المحيط، وهو مجموع الطول والعرض (L + l = 110). أما المعادلة الثانية، فهي تُصاغ عادةً بناءً على التغيرات الطارئة على المساحة أو الأبعاد؛ وفي حال بقاء المحيط ثابتاً عند نقص الطول وزيادة العرض بنفس المقدار، فإن ذلك يؤكد الطبيعة الخطية للعلاقة بين الأبعاد والمحيط، ويهدف الحل في النهاية إلى إيجاد قيم L و l التي تحقق شروط المسألة اللفظية بدقة.

نصيحة:

عند حل مسائل المحيط والمساحة، تذكر دائماً أن نصف المحيط هو المفتاح الأسرع للحل؛ فبمجرد معرفة أن L + l = 110، يمكنك التعبير عن أحد المجهولين بدلالة الآخر (مثلاً L = 110 - l) لتعويضه في المعادلة الثانية. تأكد دائماً من وحدات القياس (متر، سنتيمتر) ومن منطقية النتائج، حيث يجب أن يكون الطول L دائماً أكبر من العرض l في الحالة القياسية للمستطيل.

تمرين 18صفحة 61

الجذر التربيعي والعدد المربع (تمرين 5)

الشرح:

كتابة كل عدد من الأعداد الآتية على شكل قوة للعدد 10

التمرين:

حل تمرين 5

اكتب كل عدد على شكل قوة للعدد 10:

$\sqrt{10^{10}}$ = 10^5
$\sqrt{10^{-6}}$ = 10^{-3}
$\sqrt{10^6}$ = 10^3
$\sqrt{10^4}$ = 10^2
$\sqrt{10^2}$ = 10^1
$\sqrt{10^{-100}}$ = 10^{-50}
$\sqrt{10^{-20}}$ = 10^{-10}

التفصيل:

يُسلط هذا التمرين الضوء على العلاقة الحسابية بين 'الجذر التربيعي' و'الأسس'، وتحديداً للقوى ذات الأساس 10. رياضياً، يمكن كتابة الجذر التربيعي لأي عدد x على شكل أس كسرى (x^{1/2})، مما يعني أن جذر قوة للعدد 10 هو ببساطة تلك القوة مع قسمة أسها على 2؛ فمثلاً \sqrt{10^n} = 10^{n/2}. تظل هذه القاعدة ثابتة سواء كان الأس موجباً (يعبر عن أعداد كبيرة) أو سالباً (يعبر عن أجزاء من عشرة)، حيث تعمل عملية 'نصف الأس' على تبسيط الحسابات العلمية التي تتضمن رتب العظمة، مما يسهل التعامل مع الأرقام متناهية الصغر أو الكبر في الفيزياء والكيمياء.

نصيحة:

إليك القاعدة الذهبية للجذور والقوى: لجذر أي قوة للعدد 10، احتفظ بالأساس 10 واقسم الأس الموجود على 2 فقط. نصيحة احترافية: تذكر أن هذه القاعدة لا تطبق إلا إذا كان الأس 'زوجياً'؛ فإذا واجهت \sqrt{10^7} مثلاً، يجب عليك تفكيكها أولاً إلى \sqrt{10^6 \times 10} لتصبح 10^3\sqrt{10}. انتبه أيضاً إلى أن إشارة الأس (موجب أو سالب) لا تتغير عند الجذر، فقط قيمته العددية هي التي تُقسم.

تمرين 5صفحة 26