🌲 الشجرة التعليمية

جيب تمام زاوية حادة في مثلث قائم (تمرين 1)

الشرح

يهدف التمرين إلى التعرف على العناصر الأساسية للمثلث القائم (الوتر، الضلع المجاور، والضلع المقابل) وكيفية حساب جيب تمام زاوية حادة (cos) والمدور باستخدام الآلة الحاسبة.

حل تمرين 1 صفحة 116

1) تحليل الشكل المقابل:
- الوتر: في المثلث $ABC$ القائم في $A$، الوتر هو الضلع $[BC]$.
- قيس الزاوية $\widehat{B}$: مجموع زوايا المثلث هو $180^\circ$. بما أن $\widehat{A} = 90^\circ$ و $\widehat{C} = 25^\circ$، فإن قيس $\widehat{B} = 180^\circ - (90^\circ + 25^\circ) = 65^\circ$.
- الضلع المجاور للزاوية $\widehat{C}$: هو الضلع $[AC]$.
- الضلع المقابل للزاوية $\widehat{C}$: هو الضلع $[AB]$.
2) جيب تمام الزاوية $\widehat{C}$ وتساوي $\cos \widehat{C}$:
- إتمام المساواة: $\cos 25^\circ = \frac{AC}{BC}$.
- القيمة المضبوطة للعدد $\cos \widehat{B}$: $\cos \widehat{B} = \frac{AB}{BC}$.
3) الحساب باستعمال الحاسبة (المدور إلى الجزء من 100):
- $\cos 75^\circ \approx 0.26$.
- $\cos 25^\circ \approx 0.91$.

التفصيل

يُعد هذا التمرين مدخلاً أساسياً لعلم 'حساب المثلثات' (Trigonometry)، حيث يركز على تعريف 'جيب تمام الزاوية الحادة' (Cosine) في المثلث القائم. رياضياً، جيب التمام هو نسبة ثابتة تربط بين طول الضلع المجاور للزاوية وطول الوتر، وهي قيمة تتراوح دائماً بين 0 و1 للأزاوية الحادة. تبرز أهمية التمرين في تعليم الطالب كيفية تحديد أدوار الأضلاع (مقابل، مجاور، وتر) بناءً على الزاوية المستهدفة؛ فالضلع الذي يمثل 'مجاوراً' للزاوية C هو نفسه 'المقابل' للزاوية B. إن إتقان هذه المفاهيم والتحويلات يسمح بحساب الأطوال والزوايا في المثلثات القائمة بدقة متناهية، وهو أمر حيوي في مجالات الملاحة، الطيران، والهندسة الإنشائية حيث يتعذر القياس المباشر للأبعاد الكبيرة أو الارتفاعات الشاهقة.

نصيحة

إليك القاعدة الذهبية للنجاح في حساب المثلثات: الوتر هو دائماً الضلع الأطول والمقابل للزاوية القائمة، ولا يتغير دوره أبداً. أما 'المجاور' و'المقابل' فهما أدوار متبادلة تعتمد كلياً على الزاوية التي تنظر إليها. نصيحة احترافية: عند استخدام الآلة الحاسبة، تأكد دائماً أن نظام الزوايا مضبوط على 'الدرجة' (DEG) وليس 'الراديان' (RAD) لتجنب النتائج الخاطئة. تذكر أيضاً أن قيمة الـ cos تزداد كلما اقتربت الزاوية من 0° وتتناقص كلما اقتربت من 90°؛ فإذا وجدت قيمة أكبر من 1، فاعلم يقيناً أن هناك خطأ في ترتيب النسبة (ربما وضعت الوتر في البسط بدلاً من المقام).

التمرين: 1الصفحة: 116

📚

تمارين إضافية مقترحة

4 تمرين

حساب أطوال أضلاع متناسبة (تمرين 8)

الشرح:

تطبيق مباشر لخاصية طالس في وضعية المثلثات المتداخلة لحساب أطوال أضلاع المثلث الأكبر.

التمرين:

حل تمرين 8 صفحة 110

بما أن $(NP) // (ML)$ في المثلث $ANP$، نطبق خاصية طالس:

$\frac{AM}{AN} = \frac{AL}{AP} = \frac{ML}{NP}$

التعويض: $\frac{9}{15} = \frac{6}{AP} = \frac{ML}{NP}$
حساب $AP$: $AP = \frac{15 \times 6}{9} = 10$ cm.
حساب $LP$: $LP = AP - AL = 10 - 6 = 4$ cm.

التفصيل:

يعتمد حل هذا التمرين بشكل جوهري على تطبيق نص نظرية طالس (Thales's Theorem) في المثلث، وهي إحدى الركائز الأساسية في الهندسة المستوية التي تربط بين توازي المستقيمات وتناسب أطوال الأضلاع. تبدأ المنهجية بالتحقق من الشرط الضروري لاستخدام النظرية، وهو وجود مستقيمين متوازيين (NP) // (ML) يقطعهما مستقيمان غير متوازيين يلتقيان في الرأس A. من خلال صياغة النسب الثلاث المتساوية \frac{AM}{AN} = \frac{AL}{AP} = \frac{ML}{NP}، نتمكن من عزل المجهول AP واستخراجه باستخدام طريقة الرابع المتناسب (Cross-multiplication). لا يتوقف الحل عند هذا الحد، بل يمتد ليشمل علاقة 'شال' للأطوال، حيث أن طول القطعة المستقيمة LP هو الفرق بين الطول الكلي للضلع AP والجزء المعروف منه AL، مما يعكس الفهم العميق للعلاقات التجميعية بين الأجزاء والكل في المخططات الهندسية.

نصيحة:

عند تطبيق نظرية طالس، يقع الكثير من الطلاب في خطأ خلط ترتيب الرؤوس؛ تذكر دائماً البدء من الرأس المشترك (نقطة التقاطع A) ثم التحرك على نفس المستقيم لتشكيل النسبة (الصغير على الكبير أو العكس)، مع ضرورة المحافظة على نفس الترتيب في جميع النسب. نصيحة إضافية لتفوقك: قبل إجراء الحسابات، حاول اختزال الكسور المعطاة إن أمكن؛ فمثلاً اختزال \frac{9}{15} إلى \frac{3}{5} يجعل عملية الضرب والقسمة الذهنية لحساب AP أسرع وأقل عرضة للخطأ الحسابي، خاصة في ظروف الامتحانات وضيق الوقت.

تمرين 8صفحة 110

حل معادلات من الشكل ax² + b = 0 (تمرين 13)

الشرح:

حل كل معادلة من المعادلات الآتية

التمرين:

حل تمرين 13

الحلول:

$-1 - 9x^2 = 0$ → $9x^2 = -1$ → لا حل
$3 + x^2 = 0$ → $x^2 = -3$ → لا حل
$3 - x^2 = 0$ → $x^2 = 3$ → $x = \pm \sqrt{3}$

التفصيل:

يعتمد المنطق الرياضي في حل هذه المعادلات على دراسة إشارة المربع الكامل في مجموعة الأعداد الحقيقية \mathbb{R}. القاعدة الذهبية هنا هي أن مربع أي عدد حقيقي (x^2) يجب أن يكون موجباً أو معدوماً حتماً. في الحالتين الأولى والثانية، نلاحظ أن تبسيط المعادلة يؤدي إلى وضعية مستحيلة رياضياً حيث x^2 يساوي عدداً سالباً (مثل -3 أو -1/9)، وهذا يتناقض مع بديهيات الحساب الحقيقي، لذا نقول إن المعادلة لا تملك حلولاً. أما في الحالة الثالثة، وبما أن القيمة المستهدفة موجبة (3)، فإننا نحصل على حلين متمايزين يمثلان الجذر التربيعي الموجب والسالب للعدد، مما يحقق التوازن في المساواة الجبرية.

نصيحة:

لتجنب الخطأ في تحديد وجود الحلول من عدمه، قم دائماً بعزل المجهول x^2 في طرف والأعداد في الطرف الآخر قبل الحكم على المعادلة. انتبه جيداً للإشارات عند نقل الحدود؛ فمثلاً في العبارة 3 - x^2 = 0، عند نقل -x^2 للطرف الآخر تصبح x^2 = 3 (لها حلول)، بينما في 3 + x^2 = 0 تصبح x^2 = -3 (مستحيلة). تذكر دائماً وضع إشارة \pm قبل الجذر في حالة وجود حلول لضمان عدم ضياع نصف الإجابة الصحيحة.

تمرين 13صفحة 26

التمرين 46

الشرح:

1) PGD(140,220)=20. 2) تحويل الأبعاد إلى سنتيمتر: 140 سم و 220 سم. طول ضلع المربع = PGD(140,220)=20 سم. عدد المربعات = (140÷20) × (220÷20) = 7 × 11 = 77 مربع.

التمرين:

التمرين 46

1) $PGD(140,220)=20$
2) زجاجية مستطيلة الشكل أبعادها $1.40m \times 2.20m$:
- تحويل إلى سم: $140cm \times 220cm$
- طول ضلع المربع: $PGD(140,220)=20cm$
- عدد المربعات: $(140 \div 20) \times (220 \div 20) = 7 \times 11 = 77$ مربع

التفصيل:

هذا التمرين في الهندسة ونظرية الأعداد يطبق مفهوم القاسم المشترك الأكبر (PGCD) لحل مسألة عملية عن تقسيم سطح مستطيل إلى مربعات متطابقة دون باقٍ، مع جعل طول ضلع المربع أكبر ما يمكن. المعطيات: زجاجية مستطيلة أبعادها 1.40 م × 2.20 م. أولاً، نحول الأبعاد إلى سنتيمترات لتجنب الكسور العشرية: 1.40 م = 140 سم، 2.20 م = 220 سم. المطلوب: تقسيم المستطيل إلى مربعات متطابقة (جميعها بنفس الحجم) بحيث يكون طول ضلع المربع أكبر عدد صحيح ممكن (بالسنتيمترات)، ويُغطى السطح بالكامل دون باقٍ أو تداخل. هذا يعني أن طول ضلع المربع يجب أن يقسم كلاً من 140 و 220 بدون باقٍ، أي أنه قاسم مشترك للعددين. ولجعل المربع أكبر ما يمكن، نأخذ القاسم المشترك الأكبر (PGCD). حساب PGCD(140,220): 220 = 140×1 + 80، 140 = 80×1 + 60، 80 = 60×1 + 20، 60 = 20×3 + 0، إذن PGCD = 20. إذن طول ضلع المربع = 20 سم. عدد المربعات في الطول = 140 ÷ 20 = 7، وفي العرض = 220 ÷ 20 = 11، وبالتالي العدد الإجمالي للمربعات = 7 × 11 = 77 مربعاً. هذا التمرين يبرز تطبيقاً عملياً للقاسم المشترك الأكبر في الحياة اليومية (تبليط، تقسيم أراضي، قص قماش، صناعة البلاط)، كما يوضح العلاقة بين PGCD والهندسة المستوية.

نصيحة:

من الأخطاء الشائعة في هذا التمرين هو نسيان تحويل الوحدات من الأمتار إلى السنتيمترات، فيحسب الطالب PGCD(1.4, 2.2) مباشرة مع وجود كسور عشرية، مما يؤدي إلى صعوبات في الحساب أو نتائج غير صحيحة. خطأ آخر هو حساب PGCD بشكل خاطئ باستخدام الخوارزمية الإقليدية (قد يخطئ في الطرح أو القسمة). بعض الطلاب قد يحسبون PGCD ثم يقسمون الطول والعرض على PGCD بشكل صحيح، لكنهم ينسون ضرب الناتجين لإيجاد عدد المربعات الكلي. نصيحة تربوية قيّمة: شجع الطلاب على تحويل جميع القياسات إلى نفس الوحدة (الأصغر) قبل البدء في الحسابات. تطبيق عملي: اطلب من الطلاب حل مسائل مشابهة: (أ) أرض مستطيلة أبعادها 8.4 م × 5.6 م، نريد تقسيمها إلى مربعات متطابقة أكبر ما يمكن. الحل: 840 سم × 560 سم، PGCD(840,560)=280 سم = 2.8 م، عدد المربعات = (840÷280)×(560÷280)=3×2=6 مربعات. (ب) لوح خشب طوله 2.5 م وعرضه 1.5 م، كم أكبر مربع يمكن قطعه؟ الحل: 250 سم × 150 سم، PGCD=50 سم، عدد المربعات=5×3=15. توسيع إضافي: اطلب من الطلاب حساب مساحة المستطيل (140×220=30800 سم²) ومساحة المربع الواحد (20×20=400 سم²)، ثم 30800÷400=77، تأكيد. هذا يربط بين PGCD ومساحة الأشكال.

تمرين 46صفحة 16

وضعية تناسبية وامتلاء خزان (تمرين 25)

الشرح:

تحليل جدول تناسبية لربط الزمن (t) بحجم الماء (V) وحساب سعة الخزان.

التمرين:

حل تمرين 25 صفحة 113

1) التناسبية: نعم، الجدول يمثل وضعية تناسبية لأن $\frac{12}{1} = \frac{24}{2} = \frac{48}{4} = 12$ (معامل التناسب هو 12 ثانية لكل قارورة).
2) كمية الماء في دقيقة: الدقيقة فيها 60 ثانية. عدد القارورات $= 60 / 12 = 5$. الكمية $= 5 \times 1.5L = 7.5L$.
3) التعبير عن $V(t)$: بما أن كل قارورة ($1.5L$) تستغرق $12s$، فإن $V(t) = \frac{1.5}{12}t = 0.125t$.
4) كفاية ساعة: ساعة $= 3600s$. الكمية $= 0.125 \times 3600 = 450L$. بما أن $450L > 100L$، فإن الساعة تكفي وتزيد لملء الخزان.

التفصيل:

هذا التمرين يطبق مفهوم التناسبية الطردية (Direct proportionality) في سياق تعبئة قارورات الماء بمعدل تدفق ثابت. الجزء الأول: الجدول يعطي عدد القارورات والزمن بالثواني. نتحقق من التناسبية بحساب النسبة الزمن/عدد القارورات: 12/1 = 12، 24/2 = 12، 48/4 = 12. إذن معامل التناسب هو 12 ثانية لكل قارورة، أي أن كل قارورة تستغرق 12 ثانية لتُعبأ. هذه علاقة طردية: كلما زاد عدد القارورات، زاد الزمن بنفس النسبة. الجزء الثاني: الدقيقة = 60 ثانية. عدد القارورات التي تُعبأ في دقيقة = 60 ÷ 12 = 5 قارورات. كمية الماء = 5 × 1.5 = 7.5 لتر. الجزء الثالث: التعبير الجبري للكمية V(t) بدلالة الزمن t بالثواني. معدل التدفق = 1.5 لتر / 12 ثانية = 0.125 لتر/ثانية. إذن V(t) = 0.125t. هذه دالة خطية (Linear function) تمر بنقطة الأصل (0,0) لأن عند t=0 تكون الكمية 0. الجزء الرابع: الساعة = 3600 ثانية. الكمية المعبأة = 0.125 × 3600 = 450 لتر. بما أن 450 > 100، فإن الزمن المتاح (ساعة) كافٍ لملء خزان سعة 100 لتر، بل ويزيد بمقدار 350 لترًا إضافيًا. هذا التمرين يبرز العلاقة بين الزمن والكمية في عمليات التعبئة، ويطبق تحويل الوحدات الزمنية (ثانية، دقيقة، ساعة)، وحساب معامل التناسب، وبناء الدوال الخطية من سياقات حياتية. كما يوضح مفهوم السعة (Capacity) والتدفق (Flow rate)، وهو أساسي في مجالات مثل الهيدروليكا، إدارة الموارد المائية، والعمليات الصناعية.

نصيحة:

من الأخطاء الشائعة في هذا التمرين هو عكس العلاقة: قد يحسب الطالب أن كل لتر يستغرق 12/1.5 = 8 ثوانٍ، ثم يستخدم هذه المعلومة في الحسابات. هذا ليس خطأ في حد ذاته، ولكنه يتطلب تحويلات إضافية. الخطأ الحقيقي هو الخلط بين عدد القارورات والزمن، أو نسيان تحويل الدقيقة إلى ثوانٍ (60) والساعة إلى ثوانٍ (3600). بعض الطلاب قد يحسبون كمية الماء في دقيقة كـ 60 × 1.5 = 90 لترًا (معتبرين أن كل ثانية تعطي 1.5 لتر، وهذا خطأ لأن 1.5 لتر تحتاج 12 ثانية). نصيحة تربوية قيّمة: استخدم طريقة النسبة والتناسب (Cross multiplication) لحل الجزء الثاني: إذا كان 12 ثانية → 1.5 لتر، فـ 60 ثانية → x لتر. إذن x = (1.5 × 60) / 12 = 90/12 = 7.5 لتر. هذه الطريقة تتجنب حساب عدد القارورات وتصل مباشرة إلى الكمية. تطبيق عملي: اطلب من الطلاب حساب الزمن اللازم لتعبئة 100 لتر باستخدام الدالة V(t)=0.125t → t = 100/0.125 = 800 ثانية = 13 دقيقة و20 ثانية. ثم اطلب منهم حساب عدد القارورات اللازمة للحصول على 100 لتر: 100 ÷ 1.5 = 66.666 قارورة، والزمن = 66.666 × 12 = 800 ثانية، نفس النتيجة. توسيع إضافي: اطلب من الطلاب حساب معدل التدفق بوحدات مختلفة: لتر/دقيقة (0.125 × 60 = 7.5 لتر/دقيقة)، لتر/ساعة (0.125 × 3600 = 450 لتر/ساعة)، ثم حساب كمية الماء في نصف ساعة (225 لتر)، ربع ساعة (112.5 لتر)، 10 دقائق (75 لتر). هذا يعزز فهم التناسبية الخطية وتحويل الوحدات.

تمرين 25صفحة 113