🌲 الشجرة التعليمية

تحليل سلسلة إحصائية: درجات الحرارة (تمرين 1)

الشرح

استخراج معلومات محددة من سلسلة إحصائية مكونة من 30 قيمة لدرجات الحرارة.

حل تمرين 1 صفحة 98

أ) تفوق 34°C: الأيام التي سجلت 35°C و 36°C وعددهـا: 2 يوم.
ب) أقل من 34°C: الأيام التي سجلت (30، 32، 33) وعددهـا: 24 يوماً.
ج) 32°C على الأقل: أي 32 فأكثر، وعددهـا: 21 يوماً.
د) 32°C على الأكثر: أي 32 فأقل، وعددهـا: 18 يوماً.

التفصيل

يستعرض هذا التمرين أساسيات 'تنظيم البيانات' وتحليل المتراجحات في سياق إحصائي يومي، حيث يتم تحويل البيانات الخام (درجات الحرارة) إلى فئات كمية منظمة. رياضياً، يعتمد الحل على التمييز الدقيق بين الروابط اللفظية والرموز الرياضية؛ فمصطلح 'على الأكثر' يترجم إحصائياً بالرمز (\le) أي القيمة المذكورة فما دون، بينما 'على الأقل' تعني (\ge) أي القيمة المذكورة فما فوق. هذه العملية تسمى 'استنطاق البيانات'، وهي تسمح باستخراج مؤشرات إحصائية مثل التكرار والتكرار المجمع، مما يساعد على فهم التوزيع التكراري للظواهر المناخية. إن الربط بين اللغة العربية والمنطق الرياضي في هذا التمرين يعزز قدرة الطالب على قراءة الجداول الإحصائية المعقدة واتخاذ قرارات مبنية على تحليل البيانات وليس على مجرد الملاحظة السطحية.

نصيحة

إليك سر التميز في حل مسائل الإحصاء: عند مواجهة مصطلحات مثل 'على الأقل' و 'على الأكثر'، تخيلها كـ 'سقف' و 'أرضية'. كلمة 'على الأقل' تعني أن هذا الرقم هو الحد الأدنى (الأرضية) ولا يمكنك النزول تحته، فـ '32 على الأقل' تشمل 32، 33، 34... وهكذا. نصيحة تعليمية: لتجنب الخطأ في العد، ابدأ دائماً بترتيب البيانات تصاعدياً أو وضع علامة على كل قيمة تقوم بفرزها. كما يُنصح باستخدام 'التكرارات المجمعة الصاعدة' عند الإجابة على أسئلة 'أقل من'، فهي توفر عليك إعادة العد يدوياً في كل مرة وتضمن لك دقة النتيجة النهائية.

التمرين: 1الصفحة: 98

📚

تمارين إضافية مقترحة

5 تمرين

تمرين 28 - الحساب الذهني باستعمال المتطابقات الشهيرة

الشرح:

حساب أعداد ذهنياً باستخدام المتطابقات الشهيرة وإكمال مساويات

التمرين:

التمرين 28 - الحساب الذهني باستعمال المتطابقات الشهيرة

أ) حساب الأعداد ذهنياً:

99 × 11 = 99 × (10 + 1) = 990 + 99 = 1089
101 × 99 = (100 + 1)(100 - 1) = 100² - 1² = 10000 - 1 = 9999
21 × 19 = (20 + 1)(20 - 1) = 20² - 1² = 400 - 1 = 399
1008 × 992 = (1000 + 8)(1000 - 8) = 1000² - 8² = 1000000 - 64 = 999936
7772 - 2232 = (777 - 223)(777 + 223) = 554 × 1000 = 554000
4082 - 4072 = (408 - 407)(408 + 407) = 1 × 815 = 815
982 - 22 = (98 - 2)(98 + 2) = 96 × 100 = 9600

ب) إكمال المساويات باستعمال المتطابقات الشهيرة:

1) x² + 6x + ... = (... + ...)²

نستخدم المتطابقة: a² + 2ab + b² = (a + b)²

a = x، 2ab = 6x ← 2 × x × b = 6x ← 2xb = 6x ← b = 3

إذن b² = 9

المساواة: x² + 6x + 9 = (x + 3)²

2) 36x² + ... + 1 = (... + ...)²

نستخدم المتطابقة: a² + 2ab + b² = (a + b)²

a² = 36x² ← a = 6x

b² = 1 ← b = 1

2ab = 2 × 6x × 1 = 12x

المساواة: 36x² + 12x + 1 = (6x + 1)²

التفصيل:

هذا التمرين المتقدم في الحساب الذهني والجبر يطبق المتطابقات الشهيرة (Remarkable identities) لتبسيط العمليات الحسابية دون الحاجة إلى آلة حاسبة. الجزء (أ) يستخدم ثلاث متطابقات رئيسية: (1) توزيع الضرب على الجمع: 99×11 = 99×(10+1)=990+99=1089. (2) متطابقة (a+b)(a-b)=a²-b²: 101×99 = (100+1)(100-1)=10000-1=9999، 21×19=(20+1)(20-1)=400-1=399، 1008×992=(1000+8)(1000-8)=1,000,000-64=999,936. (3) متطابقة a² - b² = (a-b)(a+b): 777² - 223² = (777-223)(777+223)=554×1000=554,000، 408² - 407² = (408-407)(408+407)=1×815=815، 98² - 2² = (98-2)(98+2)=96×100=9,600. الجزء (ب) يكمل المربعات الكاملة (Completing the square). في (1): x² + 6x + ... = (... + ...)². نستخدم a²+2ab+b²=(a+b)². a=x، 2ab=6x → 2×x×b=6x → b=3، إذن b²=9، و (x+3)². في (2): 36x² + ... + 1 = (... + ...)². a²=36x² → a=6x، b²=1 → b=1، 2ab=2×6x×1=12x، إذن 36x²+12x+1=(6x+1)². هذا التمرين يبرز قوة المتطابقات في تبسيط الحسابات العددية والجبرية، وهو أساسي في الرياضيات الذهنية والتحليل العددي.

نصيحة:

من الأخطاء الشائعة في استخدام متطابقة a²-b²=(a-b)(a+b) هو عكس الطرفين: قد يحسب الطالب 777²-223² = (777+223)(777-223) بدلاً من (777-223)(777+223)، لكن النتيجة واحدة لأن الضرب تبادلي. لكن الخطأ الحقيقي هو نسيان أن a و b هما الجذران التربيعيان للحدين. في 98²-2²، a=98 و b=2، وليس a=98 و b=2². في إكمال المربع، الخطأ الشائع هو نسيان أن b قد يكون كسرًا إذا كان الحد الأوسط فرديًا. نصيبة تربوية قيّمة: شجع الطلاب على حفظ المتطابقات الثلاث: (a+b)² = a²+2ab+b²، (a-b)² = a²-2ab+b²، (a+b)(a-b)=a²-b². ثم تدريبهم على التعرف على أي متطابقة تناسب الموقف. تطبيق عملي: اطلب من الطلاب حساب ذهنياً: 49×51 (=(50-1)(50+1)=2500-1=2499)، 103×97 (=(100+3)(100-3)=10000-9=9991)، 202² - 198² (=(202-198)(202+198)=4×400=1600)، 35² (=(30+5)²=900+300+25=1225). ثم إكمال مربعات: x²+10x+... (b=5→25)، 49x²+...+9 (a=7x، b=3→2ab=42x)، 4x²-12x+... (a=2x، b=3→b²=9، (2x-3)²). توسيع إضافي: اطلب من الطلاب تحويل مسائل مثل 999² (=(1000-1)²=1,000,000-2,000+1=998,001).

تمرين 28صفحة 39

العرض الترويجي (تمرين 34)

الشرح:

حساب المبلغ المدفوع بعد تطبيق خصم 10 دينار لكل 1000 دينار من المشتريات.

التمرين:

حل تمرين 34

إجمالي المشتريات: $48000 + 2400 = 50400$ DA.

عدد مرات الخصم: $50400 / 1000 = 50.4$ (نأخذ 50 مرة لأن الخصم لكل 1000 كاملة).

قيمة الخصم: $50 \times 10 = 500$ DA.

المبلغ المدفوع: $50400 - 500 = 49900$ DA.

التفصيل:

هذا التمرين في الرياضيات التطبيقية (Applied mathematics) يطبق مفهوم الخصم التدريجي (Progressive discount) بناءً على فئات المبلغ المشتراة. المعطيات: العميل اشترى سلعة بـ 48,000 دينار ثم أضاف سلعة أخرى بـ 2,400 دينار، ليصبح إجمالي المشتريات = 50,400 دينار. العرض: يحصل العميل على خصم 10 دنانير لكل 1,000 دينار من إجمالي المشتريات (أي 1% خصم). ولكن الخصم يُحتسب فقط على الألفيات الكاملة (أي الأجزاء الصحيحة من 1,000). لحساب عدد مرات الخصم: 50,400 ÷ 1,000 = 50.4، إذن عدد الألفيات الكاملة = 50 (لأن الـ 0.4 لا تكوّن ألفًا كاملاً). قيمة الخصم = 50 × 10 = 500 دينار. المبلغ المدفوع = 50,400 - 500 = 49,900 دينار. هذا التمرين يبرز أهمية التعامل مع القسمة الصحيحة (Integer division) في سياقات الحياة اليومية مثل برامج الولاء والمكافآت، حيث لا يتم منح الخصم إلا عند اكتمال الشرط.

نصيحة:

من الأخطاء الشائعة في هذا التمرين هو تقريب 50.4 إلى 51 (أخذ الألفية غير الكاملة)، مما يعطي خصماً أكبر (510 دينار) ومبلغاً مدفوعاً أقل (49,890). خطأ آخر هو نسيان أن الخصم يُحسب على الإجمالي وليس على كل منتج على حدة. بعض الطلاب قد يحسبون الخصم على 48,000 فقط (48×10=480) ثم على 2,400 (2×10=20) فيجمعون 500 (نفس النتيجة هنا بالصدفة لأن 2,400 تعطي ألفيتين كاملتين). لكن لو كان المبلغ الإضافي 1,900 مثلاً، كان سيختلف. نصيحة تربوية قيّمة: شجع الطلاب على تحديد عدد الألفيات الكاملة باستخدام دالة الجزء الصحيح (Floor function) أو القسمة الصحيحة. تطبيق عملي: اطلب من الطلاب حساب المبلغ المدفوع إذا كان إجمالي المشتريات 63,200 دينار بنفس نظام الخصم (63200/1000=63.2 → 63 ألفية → خصم=630 → مدفوع=63200-630=62570). أو تغيير نظام الخصم: خصم 15 دينار لكل 500 دينار (عدد الخمسمئات الكاملة). توسيع إضافي: اطلب من الطلاب كتابة دالة (أو تعبير جبري) للمبلغ المدفوع بدلالة الإجمالي T: المدفوع = T - 10 × ⌊T/1000⌋.

تمرين 34صفحة 75

جدول التكرارات والتكرار المجمع الصاعد (تمرين 2)

الشرح:

تنظيم علامات قسم مكون من 30 تلميذاً وحساب التكرار المجمع الصاعد.

التمرين:

حل تمرين 2 صفحة 98

العلامة	8	9	10	12	13	16	19
التكرار	2	3	8	6	7	2	2
ت.م.ص	2	5	13	19	26	28	30

تم حساب التكرار المجمع الصاعد بجمع تكرار كل علامة مع تكرارات ما قبلها.

التفصيل:

يعالج هذا التمرين مفهوم 'التكرار المجمع الصاعد' (Cumulative Frequency) في الإحصاء، وهو أداة رياضية لتنظيم البيانات المتراكمة. رياضياً، يمثل هذا التكرار عدد القيم التي تقل عن أو تساوي علامة معينة؛ فمثلاً القيمة 13 في خانة العلامة 10 تعني أن هناك 13 تلميذاً نالوا العلامة 10 أو أقل. تبرز أهمية هذا الجدول في كونه الخطوة الأساسية لتحديد 'الوسيط' (Median) والربيعيات، حيث يسمح لنا بمعرفة موقع القيمة الوسطى في سلسلة البيانات دون الحاجة لترتيب كل علامة بشكل فردي، مما يسهل تحليل النتائج الدراسية وتصنيف المستويات الإجمالية للمجموعة.

نصيحة:

إليك القاعدة الذهبية للحساب دون أخطاء: الخانة الأولى في التكرار المجمع الصاعد هي دائماً نفس التكرار الأول، والخانة الأخيرة يجب أن تساوي 'التكرار الكلي' (مجموع كل التكرارات). نصيحة احترافية: للتحقق من دقة جدولك، تأكد أن كل رقم ناتج أكبر من الذي قبله (لأننا 'نصعد' بالجمع)؛ فإذا وجدت رقماً أصغر مما سبقه، فهذا دليل فوري على وجود خطأ حسابي. تذكر أن هذا الجدول هو ما سيمكنك لاحقاً من رسم 'المنحنى التكراري المجمع' وتحديد رتبة أي علامة داخل القسم بسهولة.

تمرين 2صفحة 98

الجذر التربيعي والعدد المربع (تمرين 2)

الشرح:

كتابة العبارة المناسبة (العدد مربع هو) أو (الجذر التربيعي للعدد هو) في مكان النقط لكل حالة

التمرين:

حل تمرين 2

اكتب العبارة المناسبة:

(-1)² … 1 → 1 هو مربع العدد -1
¹/₄₉ … → الجذر التربيعي للعدد 1/49 هو 1/7
64 … → 64 هو مربع العدد 8
0.8 … 0.64 → الجذر التربيعي للعدد 0.64 هو 0.8
0.64 … 0.8 → 0.64 هو مربع العدد 0.8
0.09 … 0.3 → الجذر التربيعي للعدد 0.09 هو 0.3
0.3 … 0.09 → 0.09 هو مربع العدد 0.3
0.0001 … 0.01 → الجذر التربيعي للعدد 0.0001 هو 0.01
0.01 … 0.0001 → 0.0001 هو مربع العدد 0.01

التفصيل:

يهدف هذا التمرين إلى ترسيخ العلاقة العكسية بين 'المربع' و'الجذر التربيعي'. رياضياً، إذا كان a^2 = b، فإن b هو مربع a، وبالعكس يكون a (الموجب) هو الجذر التربيعي لـ b. يركز التمرين بشكل خاص على الأعداد العشرية والكسور، حيث يظهر أن تربيع عدد أصغر من 1 ينتج عنه عدد أصغر منه (مثلاً 0.3^2 = 0.09)، بينما جذر الكسر هو جذر بسطه على جذر مقامه. كما يوضح التمرين قاعدة هامة وهي أن المربعات دائماً موجبة، لذا فإن (-1)^2 يساوي 1، مما يعني أن للعدد 1 جذراً تربيعياً واحداً (كقيمة موجبة) ولكنه يمثل مربعاً لعددين متعاكسين هما 1 و -1.

نصيحة:

إليك سر التعامل مع الأعداد العشرية: عند التربيع، يتضاعف عدد الأرقام بعد الفاصلة (مثلاً 0.1 برقم واحد يصبح 0.01 برقمين)، وعند التجذير ينقسم عدد الأرقام بعد الفاصلة على 2. نصيحة تعليمية: لتجنب الخطأ في الكسور، تذكر دائماً أن جذر الكسر هو كسر الجذور، فمثلاً لتعرف جذر 1/49، احسب جذر 1 وجذر 49 كل على حدة. هذه الطريقة الذهنية تبسط العمليات المعقدة وتضمن لك الدقة عند الانتقال من القوى إلى الجذور وبالعكس.

تمرين 2صفحة 26

حساب النسب المثلثية واستخراج الزوايا بالآلة الحاسبة (تمرين 4)

الشرح:

دليل شامل لاستخدام الآلة الحاسبة العلمية في حساب الجيب، جيب التمام، والظل، بالإضافة إلى كيفية استنتاج قيس الزاوية بالدرجات من خلال نسبها المثلثية المعطاة مع تطبيق قواعد المدور.

التمرين:

حل تمرين 4 صفحة 117 كاملاً

1) حساب النسب المثلثية للزوايا (المدور إلى 0.01)

الزاوية (x)	10°	20°	30°	40°	45°	60°	75°
sin x	0.17	0.34	0.50	0.64	0.71	0.87	0.97
cos x	0.98	0.94	0.87	0.77	0.71	0.50	0.26
tan x	0.18	0.36	0.58	0.84	1.00	1.73	3.73

2) إيجاد قيس الزاوية x بالدرجات

النسبة المعطاة	المدور إلى الوحدة	المدور إلى 0.1	المدور إلى 0.01
sin x = 0.52	31°	31.3°	31.33°
cos x = 0.25	76°	75.5°	75.52°
tan x = 1.33	53°	53.1°	53.06°

نصائح تقنية للحل:

تأكد من ضبط الحاسبة على نظام الدرجات DEG لضمان صحة النتائج.
استخدم وظيفة Shift أو 2ndF متبوعة بـ (sin, cos, tan) لإيجاد الزوايا المجهولة.
قاعدة المدور: إذا كان الرقم بعد المنزلة المطلوبة 5 فما فوق، نزيد واحداً للمنزلة الأخيرة.

التفصيل:

يستعرض هذا التمرين الشامل التغيرات الوظيفية للنسب المثلثية الأساسية ومهارة 'الحساب العكسي' للزوايا. رياضياً، نلاحظ علاقة عكسية بين الجيب (Sin) وجيب التمام (Cos) للزوايا المتتامة؛ فمثلاً \sin 30^\circ يساوي تماماً \cos 60^\circ، وهذا يعود لتبادل الأدوار بين الضلعين المقابل والمجاور عند الانتقال بين الزاويتين الحادتين في المثلث القائم. الجزء الثاني من التمرين يستخدم 'الدوال المثلثية العكسية' (Arcsin, Arccos, Arctan) للبحث عن قيمة الزاوية المجهولة انطلاقاً من نسبة معلومة، وهي عملية تقريبية تتطلب دقة عالية في قواعد المدور الرياضي لضمان الاتساق بين المخرجات العددية والقياسات الهندسية الواقعية.

نصيحة:

إليك القاعدة الذهبية للتحقق من منطقية جدولك: عندما تزيد الزاوية من 0^\circ إلى 90^\circ، يزداد الجيب (Sin) والظل (Tan) دائماً، بينما يتناقص جيب التمام (Cos). نصيحة احترافية: لاحظ عند الزاوية 45^\circ أن الجيب يساوي جيب التمام (كلاهما \approx 0.71) والظل يساوي 1 تماماً؛ هذه 'نقطة التعادل' هي المفتاح الذهبي للتأكد من أن حساباتك تسير في الاتجاه الصحيح، فإذا وجدت الظل أكبر من 1 لزاوية أصغر من 45^\circ، فاعلم أن هناك خطأ في الحساب أو في ضبط نظام الآلة الحاسبة.

تمرين 4صفحة 117