🌲 الشجرة التعليمية

تعيين دالة خطية (نشاط 1)

الشرح

حل النشاط الأول المتعلق بتعيين دالة خطية من خلال وضعية تخفيض 2%.

حل نشاط 1: تعيين دالة خطية

1) إتمام الجدول (معامل التناسبية هو $0.98$):

السعر قبل التخفض: 200 ← السعر بعد التخفيض: 196
السعر قبل التخفض: 150 ← السعر بعد التخفيض: 147
السعر قبل التخفض: 100 ← السعر بعد التخفيض: 98
السعر قبل التخفض: 50 ← السعر بعد التخفيض: 49

2) الحسابات:

$f(120) = 120 \times 0.98 = 117.6$
إذا كان $f(x) = 6$ فإن $x = \dfrac{6}{0.98} \approx 6.12$
إذا كان $f(x) = 1.4$ فإن $x = \dfrac{1.4}{0.98} \approx 1.43$

3) العبارة الجبرية: $f(x) = 0.98x$ (حيث $a = 0.98$).

التفصيل

يُعد هذا النشاط مدخلاً جوهرياً لفهم 'الدالة الخطية' كنموذج رياضي يعبر عن ظواهر التناسب في حياتنا اليومية، مثل حساب الأسعار بعد التخفيض. رياضياً، الدالة الخطية هي علاقة تربط كل عدد x بصورته f(x) عن طريق ضربه في ثابت a (يُسمى معامل الدالة أو ميل المستقيم). في هذا المثال، المعامل 0.98 يمثل نسبة السعر المتبقي بعد تخفيض قدره 2%؛ حيث يتم تحويل العلاقة الحسابية البسيطة من جدول تناسبية إلى 'عبارة جبرية' عامة f(x) = ax. تكمن أهمية هذه النمذجة في قدرتها على استنتاج 'القيم المجهولة' في كلا الاتجاهين: حساب الصورة (السعر الجديد) بمعلومية السابقة، أو البحث عن 'السابق' (السعر الأصلي) عن طريق حل معادلة من الدرجة الأولى، مما يعزز القدرة على التوقع والتحليل المالي الرياضي الدقيق.

نصيحة

إليك نصيحة ذهبية للتمييز بين الدالة الخطية وغيرها: الدالة الخطية دائماً تمر من المبدأ (0,0)؛ أي إذا كان السعر الأصلي صفراً، فإن السعر بعد التخفيض سيكون حتماً صفراً. عند حساب 'السابق' (العدد x الذي صورته معلومة)، تذكر دائماً أن العملية هي 'قسمة' الصورة على المعامل a. خطأ شائع يقع فيه الطلاب هو ضرب الصورة في المعامل بدلاً من قسمتها؛ لتفادي ذلك، اسأل نفسك دائماً: هل يجب أن تكون النتيجة أكبر أم أصغر؟ في حالة التخفيض، يجب أن يكون السعر الأصلي x أكبر من السعر المخفض f(x)، لذا فإن القسمة على عدد أصغر من 1 (مثل 0.98) هي التي ستعطيك قيمة أكبر وتضمن صحة منطقك الحسابي.

التمرين: 1الصفحة: 66

📚

تمارين إضافية مقترحة

3 تمرين

تعيين أعداد وصورها (تمرين 4)

الشرح:

إكمال جدول قيم للدالة f(x) = -2x + 3 مع إيجاد السوابق.

التمرين:

حل تمرين 4

x	-3	-1	0	2	3	5
f(x)	9	5	3	-1	-3	-7

ملاحظة: لإيجاد $x$ عندما $f(x)=-1$: $-2x+3=-1 \Rightarrow x=2$.

التفصيل:

يُجسد هذا التمرين الربط بين 'الجدول القيمي' والعبارة الجبرية للدالة التآلفية التي تأتي هنا على الشكل f(x) = -2x + 3. رياضياً، نلاحظ أن معامل التوجيه (الميل) هو عدد سالب (-2)، وهذا يفسر التناقص المستمر في قيم f(x) كلما زادت قيم x في الجدول، وهي خاصية تميز الدوال المتناقصة تماماً. عملية إيجاد السابقة (قيمة x) انطلاقاً من الصورة (قيمة f(x)) تعتمد على حل معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد، حيث نقوم بعزل المجهول x عبر نقل الثوابت وتغيير إشاراتها، مما يبرز الوظيفة العكسية للدالة في تحديد المدخلات بناءً على المخرجات المعلومة.

نصيحة:

إليك القاعدة الذهبية للتحقق من الاتجاه العام للدالة: انظر دائماً إلى إشارة المعامل a؛ فإذا كان سالباً كما في هذا التمرين (-2)، يجب أن يكون التمثيل البياني عبارة عن مستقيم 'يهبط' من اليسار إلى اليمين. نصيحة احترافية: لتسريع ملء الجدول أو التأكد منه، استخدم خاصية التغير الثابت؛ فبما أن المعامل هو -2، فكلما زاد x بمقدار 1، يجب أن تنقص النتيجة بمقدار 2. تذكر دائماً أن القيمة الموجودة مقابل x=0 هي مفتاحك السحري للتأكد من الثابت b في العبارة الجبرية.

تمرين 4صفحة 86

تمرين 17 - الفرق بين عددين

الشرح:

استنتاج عددين بناءً على الفرق بينهما وعلاقة التضاعف بعد الإضافة.

التمرين:

التمرين 17 - صفحة 61

ليكن x و y حيث x - y = 24:

المعادلة 1: x = y + 24.
المعادلة 2: (x+8) = 3(y+8).
بالتعويض: y + 24 + 8 = 3y + 24 => y + 32 = 3y + 24 => 2y = 8 => y = 4.
إذن: x = 28.

التفصيل:

تتمثل المنهجية المتبعة في حل هذه المسألة في صياغة جملة معادلتين تعبران عن علاقتين زمنيتين أو كميتين مختلفتين. تعبر المعادلة الأولى عن الفرق الثابت بين المجهولين x و y، بينما تصف المعادلة الثانية علاقة التضاعف (ثلاثة أمثال) بعد إضافة قيمة معينة (8) لكل طرف. باستخدام 'طريقة التعويض'، قمنا باستبدال المتغير x بما يساويه بدلالة y في المعادلة الثانية، مما حول المسألة من جملة معادلتين بمجهولين إلى معادلة بسيطة من الدرجة الأولى بمجهول واحد، وهو أسلوب رياضي فعال لتبسيط المسائل اللفظية المعقدة.

نصيحة:

عند حل المسائل التي تتضمن عبارات مثل 'بعد 8 سنوات' أو 'بإضافة 8'، تأكد من إضافة هذا الرقم إلى طرفي المعادلة (لكل من x و y) وليس لطرف واحد فقط. الخطأ الأكثر شيوعاً هو نسيان توزيع معامل الضرب (مثل الرقم 3 في هذا التمرين) على كامل القوس (y+8)، مما يؤدي إلى نتائج خاطئة تماماً؛ لذا استعمل الأقواس دائماً لضمان توزيع الضرب على المجموع بشكل صحيح.

تمرين 17صفحة 61

سلسلة بالوسيط والمتوسط (تمرين 11)

الشرح:

اقتراح سلسلة تحقق شروط الوسيط والمتوسط الحسابي.

التمرين:

حل تمرين 11 صفحة 99

السلسلة المقترحة: (5، 20، 26).

الوسيط: القيمة الوسطى هي $20$.
المتوسط: $(5 + 20 + 26) \div 3 = 17$.

التفصيل:

يعتمد المنطق الإحصائي في هذا الحل على التمييز بين مقاييس النزعة المركزية الأساسية: الوسيط والمتوسط الحسابي. يُعرّف الوسيط (Median) بأنه القيمة التي تتوسط البيانات بعد ترتيبها تصاعدياً، وهو يمثل النقطة التي تقسم العينة إلى جزأين متساويين، بينما يمثل المتوسط الحسابي (Mean) القيمة التوازنية لمجموع القيم مقسوماً على عددها. في هذه السلسلة المكونة من ثلاثة حدود (فردية)، يكون الوسيط هو الحد الثاني مباشرة، أما المتوسط فيتم حسابه عبر الصيغة الرياضية \frac{\sum x_i}{n}، مما يعكس القيمة المركزية التي تتأثر بجميع عناصر السلسلة بما في ذلك القيم المتطرفة.

نصيحة:

من الأخطاء الشائعة الخلط بين الوسيط والمتوسط عند وجود قيم متطرفة (بعيدة جداً عن بقية الأرقام)؛ تذكر دائماً أن الوسيط هو المقياس الأكثر 'صموداً' أو دقة لوصف مركز البيانات في الحالات غير المتناظرة، لأنه لا يتأثر بالقيم الكبيرة جداً أو الصغيرة جداً، بخلاف المتوسط الذي قد يعطي انطباعاً مضللاً عن المركز الحقيقي للمجموعة.

تمرين 11صفحة 99