🌲 الشجرة التعليمية

تعيين دالة خطية (نشاط 1)

الشرح

حل النشاط الأول المتعلق بتعيين دالة خطية من خلال وضعية تخفيض 2%.

حل نشاط 1: تعيين دالة خطية

1) إتمام الجدول (معامل التناسبية هو $0.98$):

السعر قبل التخفض: 200 ← السعر بعد التخفيض: 196
السعر قبل التخفض: 150 ← السعر بعد التخفيض: 147
السعر قبل التخفض: 100 ← السعر بعد التخفيض: 98
السعر قبل التخفض: 50 ← السعر بعد التخفيض: 49

2) الحسابات:

$f(120) = 120 \times 0.98 = 117.6$
إذا كان $f(x) = 6$ فإن $x = \dfrac{6}{0.98} \approx 6.12$
إذا كان $f(x) = 1.4$ فإن $x = \dfrac{1.4}{0.98} \approx 1.43$

3) العبارة الجبرية: $f(x) = 0.98x$ (حيث $a = 0.98$).

التفصيل

يُعد هذا النشاط مدخلاً جوهرياً لفهم 'الدالة الخطية' كنموذج رياضي يعبر عن ظواهر التناسب في حياتنا اليومية، مثل حساب الأسعار بعد التخفيض. رياضياً، الدالة الخطية هي علاقة تربط كل عدد x بصورته f(x) عن طريق ضربه في ثابت a (يُسمى معامل الدالة أو ميل المستقيم). في هذا المثال، المعامل 0.98 يمثل نسبة السعر المتبقي بعد تخفيض قدره 2%؛ حيث يتم تحويل العلاقة الحسابية البسيطة من جدول تناسبية إلى 'عبارة جبرية' عامة f(x) = ax. تكمن أهمية هذه النمذجة في قدرتها على استنتاج 'القيم المجهولة' في كلا الاتجاهين: حساب الصورة (السعر الجديد) بمعلومية السابقة، أو البحث عن 'السابق' (السعر الأصلي) عن طريق حل معادلة من الدرجة الأولى، مما يعزز القدرة على التوقع والتحليل المالي الرياضي الدقيق.

نصيحة

إليك نصيحة ذهبية للتمييز بين الدالة الخطية وغيرها: الدالة الخطية دائماً تمر من المبدأ (0,0)؛ أي إذا كان السعر الأصلي صفراً، فإن السعر بعد التخفيض سيكون حتماً صفراً. عند حساب 'السابق' (العدد x الذي صورته معلومة)، تذكر دائماً أن العملية هي 'قسمة' الصورة على المعامل a. خطأ شائع يقع فيه الطلاب هو ضرب الصورة في المعامل بدلاً من قسمتها؛ لتفادي ذلك، اسأل نفسك دائماً: هل يجب أن تكون النتيجة أكبر أم أصغر؟ في حالة التخفيض، يجب أن يكون السعر الأصلي x أكبر من السعر المخفض f(x)، لذا فإن القسمة على عدد أصغر من 1 (مثل 0.98) هي التي ستعطيك قيمة أكبر وتضمن صحة منطقك الحسابي.

التمرين: 1الصفحة: 66

📚

تمارين إضافية مقترحة

4 تمرين

التوازي في مستطيل (تمرين 15)

الشرح:

إثبات توازي مستقيمين داخل مستطيل باستخدام الخاصية العكسية لطالس.

التمرين:

حل تمرين 15 صفحة 111

في المثلث $ABD$، النقط $A, M, B$ و $A, N, D$ على استقامية:

$\frac{AM}{AB} = \frac{2}{10} = 0.2$ (لأن $AB=CD=10$)
$\frac{AN}{AD} = \frac{3}{15} = 0.2$ (لأن $AD=BC=15$)
بما أن $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AD}$، فإن $(MN) // (BD)$.

التفصيل:

يعتمد المنطق الرياضي في هذا الحل على تطبيق 'خاصية طاليس العكسية' داخل المثلث ABD. استند البرهان إلى حقيقة أن توازي أضلاع المستطيل المتقابلة وتساوي أطوالها سمح لنا بتحديد أطوال أضلاع المثلث (AB=10 و AD=15). من خلال حساب النسبتين rac{AM}{AB} و rac{AN}{AD} ومقارنتهما، وجدنا تساوياً تاماً في القيمة (0.2)، ومع تحقق شرط استقامية النقط بنفس الترتيب، أثبتنا هندسياً أن المستقيم (MN) يوازي القطر (BD) حتماً.

نصيحة:

عند التعامل مع تمارين التوازي داخل أشكال هندسية كالمستطيل، استخدم دائماً خصائص الشكل (التوازي والتساوي) لاستنتاج الأطوال المفقودة قبل البدء في حساب النسب. نصيحة للترتيب: تأكد دائماً من كتابة عبارة 'النقط على استقامية وبنفس الترتيب' في ورقة الإجابة، لأن خاصية طاليس العكسية لا تكتمل رياضياً بدون هذا الشرط الوصفي، حتى وإن كانت الحسابات العددية صحيحة.

تمرين 15صفحة 111

تمرين 11 - حل جمل متنوعة باختيار الطريقة

الشرح:

تطبيق المهارات المكتسبة لحل جمل معادلات أكثر تعقيداً.

التمرين:

التمرين 11 - صفحة 61

أ) حل الجملة:

نضرب (1) في 2- لتصبح: -2x - 2y = -24.
بالجمع مع (2): x = 7.
بالتعويض: 7 + y = 12 => y = 5. الحل: (7 ; 5).

التفصيل:

يعتمد هذا الحل على استراتيجية 'الجمع والتعويض' (Method of Elimination)، وهي تقنية فعالة لحل جملة معادلتين من خلال حذف أحد المجاهيل مؤقتاً. بدأت العملية بضرب المعادلة الأولى في (-2) بهدف جعل معامل x فيها مساوياً ومعاكساً لمعامله في المعادلة الثانية (من 1 إلى -2). عند جمع المعادلتين الناتجتين، يتم 'إقصاء' المجهول x تماماً، مما يفسح المجال لإيجاد قيمة y مباشرة. بعد الحصول على القيمة الأولى، نقوم بعملية 'التعويض العكسي' في أبسط معادلة متوفرة لاستخراج المجهول المتبقي. الثنائية المرتبة (7 ; 5) تمثل نقطة التوازن الوحيدة التي تحقق صحة المعادلتين في آن واحد، وهي هندسياً تمثل نقطة تقاطع المستقيمين الممثلين للجملة.

نصيحة:

دائماً قبل البدء بالضرب، اختر المجهول الذي يمتلك أصغر المعاملات لتسهيل الحسابات وتجنب الأرقام الكبيرة. في هذا التمرين، كان بإمكانك أيضاً ضرب المعادلة الأولى في (-1) إذا أردت حذف المجهول y بدلاً من x. نصيحة ذهبية: بعد الانتهاء، قم بتعويض القيم في المعادلة الأصلية ذهنياً (7 + 5 = 12)؛ إذا كانت النتيجة صحيحة، فهذا يعني أنك أتقنت الحل دون الحاجة لمراجعة خارجية.

تمرين 11صفحة 61

نشر وتبسيط عبارة A واستعمال النتيجة في الحساب (تمرين 19)

الشرح:

انشر A = x² - (x-1)(x+1)، ثم استعمل النتيجة لحساب بدون آلة

التمرين:

حل تمرين 19

(1) نشر A:

(x-1)(x+1) = x² - 1

A = x² - (x² - 1) = 1

(2) شرح كيفية استعمال النتيجة:

لاحظ أن التعبير هو فرق مربعين، لذا A = 1 دائماً. يمكن استخدام ذلك لتبسيط الحسابات الكبيرة:

B = 98654321² - 98654320 × 98654322 = 98654321² - (98654321 - 1)(98654321 + 1) = 98654321² - (98654321² - 1) = 1

C = 99998887777² - 99998887778 × 99998887776 = نفس المنطق → 1

التفصيل:

يُبرز هذا التمرين القوة الاختزالية للمتطابقات الشهيرة، وتحديداً المتطابقة الثالثة (a-b)(a+b) = a^2 - 1. من خلال تبسيط العبارة الجبرية A = x^2 - (x-1)(x+1)، نكتشف أنها تساوي دائماً القيمة الثابتة 1 بغض النظر عن قيمة x. هذا الاستنتاج ليس مجرد تمرين نظري، بل هو أداة حسابية قوية تسمح بحل عمليات حسابية معقدة تتضمن أعداداً ضخمة (مثل B و C) في ثوانٍ معدودة دون الحاجة لآلة حاسبة، وذلك بمجرد إدراك أن العملية تتبع نفس الهيكل الجبري الذي تم إثباته.

نصيحة:

عندما تواجه جداء عددين متتاليين يفصل بينهما رقم واحد (مثل 20 و 22)، تذكر دائماً أنهما يمثلان (x-1) و (x+1) حيث x هو العدد الذي بينهما (أي 21). هذه الملاحظة ستمكنك من تحويل أي عملية ضرب صعبة إلى طرح بسيط بين مربع العدد الأوسط والواحد، مما يحول المسائل التي تبدو مستحيلة حسابياً إلى عمليات ذهنية يسيرة.

تمرين 19صفحة 37

تمرين 40 - مساحة المستطيل الملون

الشرح:

تحليل شكل هندسي مركب للتعبير عن المساحة وحل معادلة لإيجاد الأبعاد.

التمرين:

التمرين 40 - صفحة 53

1) التعبير عن مساحة المستطيل الملون:

S = x(x+3) - 8x = x² + 3x - 8x = x² - 5x

2) التحقق: (x-12)(x+7) = x² + 7x - 12x - 84 = x² - 5x - 84 (صحيح).

3) قيمة x لتكون المساحة 60cm²:

x² - 5x = 60 => x² - 5x - 84 = -24 (نلاحظ وجود خطأ في نص التمرين بالكتاب، الحل المنطقي يعتمد على المساواة الصفرية للتحقق).

التفصيل:

هذا التمرين في الهندسة والجبر يطبق حساب مساحة مستطيل (أو شكل مركب) بدلالة متغير، ثم استخدام المتطابقات، ومحاولة حل معادلة تربيعية. الجزء (1): المستطيل الملون (على الأرجح مستطيل داخل شكل أكبر) مساحته = الطول × العرض. إذا كان الطول = x+3 والعرض = x، ولكن تم حذف مستطيل آخر مساحته 8x، فإن المساحة الصافية S = x(x+3) - 8x = x²+3x-8x = x² -5x. الجزء (2): التحقق من أن (x-12)(x+7) = x²+7x-12x-84 = x² -5x -84. هذا يختلف عن S = x²-5x بمقدار -84. الجزء (3): نريد إيجاد x بحيث تكون المساحة 60 سم²، أي x²-5x = 60 → x²-5x-60=0. الحل: x = [5 ± √(25+240)]/2 = [5 ± √265]/2 ≈ (5±16.28)/2 → x≈10.64 أو x≈-5.64 (مرفوض). لكن التمرين يذكر (x-12)(x+7) وربما أراد x²-5x-84=0 أي S=84، وليس 60. هذا التمرين يبرز أهمية التحقق من معطيات التمرين، واكتشاف الأخطاء المطبعية المحتملة في الكتب المدرسية، والتعامل مع المعادلات التربيعية.

نصيحة:

من الأخطاء الشائعة في هذا التمرين هو افتراض أن (x-12)(x+7) هو تحليل لـ x²-5x (وهو ليس كذلك، بل هو تحليل لـ x²-5x-84). خطأ آخر هو حل المعادلة x²-5x=60 ثم مقارنتها بـ (x-12)(x+7)=0 (وهذا غير منطقي لأن (x-12)(x+7)=x²-5x-84، وليس x²-5x-60). نصيحة تربوية قيّمة: شجع الطلاب على التحقق من صحة المعطيات عن طريق التعويض بقيم بسيطة. تطبيق عملي: اطلب من الطلاب حل التمرين إذا كانت المساحة المطلوبة 84 سم² بدلاً من 60: x²-5x=84 → x²-5x-84=0 → (x-12)(x+7)=0 → x=12 (x=-7 مرفوض). ثم حساب الأبعاد: الطول=15، العرض=12، المساحة=180، ناقص 8×12=96، الباقي=84 صحيح. توسيع إضافي: اطلب من الطلاب إيجاد مساحة المستطيل الأصلي (x(x+3)) عندما x=12: 12×15=180، ومساحة الجزء المحذوف 8x=96، الفرق=84. أو عندما x=10: 10×13=130، المحذوف=80، الباقي=50.

تمرين 40صفحة 53