🌲 الشجرة التعليمية

الخاصية العكسية لخاصية طالس (تمرين 2)

الشرح

شرح شروط توازي مستقيمين باستخدام نسب أطوال الأضلاع وترتيب النقط على الاستقامية.

حل تمرين 2 صفحة 105

1) تحليل الأشكال المقترحة

أ) شرح توافق الأشكال: تحقق الأشكال الثلاثة شرط التناسب $\frac{AB'}{AB} = \frac{AC'}{AC} = \frac{1}{3}$، حيث تقع $B'$ على $(AB)$ و $C'$ على $(AC)$.
ب) توازي المستقيمين: المستقيمان $(BC)$ و $(B'C')$ متوازيان فقط في الشكل 1. في الشكلين 2 و 3، رغم تحقق النسبة، إلا أن المستقيمين غير متوازيين بسبب عدم احترام ترتيب النقط.

2) إتمام نص الخاصية العكسية

«النقط $A$، $B$، $B'$ تقع على استقامية والنقط $A$، $C$، $C'$ تقع أيضاً في استقامية وكذلك $A$، $B$، $B'$ مرتبة بنفس ترتيب النقط $A$، $C$، $C'$.»

إذا كان $\frac{AB'}{AB} = \frac{AC'}{AC}$ فإن المستقيمين $(BC)$ و $(B'C')$ متوازيان.

يسمى هذا النص «الخاصية العكسية لخاصية طالس».

التفصيل

تُعد 'الخاصية العكسية لخاصية طالس' الأداة البرهانية الأساسية لإثبات توازي مستقيمين في الهندسة المستوية. رياضياً، لا يكفي تساوي النسب وحده (مثل \frac{1}{3}) للجزم بالتوازي، بل يجب أن يتحقق شرط 'ترتيب النقط'؛ أي أن يكون موضع النقطة B' بالنسبة لـ A و B متناظراً مع موضع C' بالنسبة لـ A و C. يوضح التمرين أن الإخلال بهذا الترتيب (كما في وضعية الفراشة الخاطئة أو النقاط المتبادلة) يؤدي إلى انحراف المستقيمين رغم تساوي نسب الأضلاع. تكمن الأهمية العملية لهذه الخاصية في الهندسة المدنية والمساحة، حيث تُستخدم للتأكد من استقامة وتوازي الهياكل عبر قياس الأبعاد الطولية فقط.

نصيحة

إليك القاعدة الذهبية للبرهان: عند كتابة الحل، ابدأ دائماً بعبارة 'بما أن النقط A, B, B' و A, C, C' مرتبة بنفس الترتيب'، ثم اذكر تساوي النسب؛ فهذا الترتيب في الكتابة يعكس فهمك العميق للشرط المنطقي. نصيحة احترافية: لتجنب الخطأ في الحساب، احرص على وضع أطوال أضلاع المثلث الصغير في البسط وأطوال المثلث الكبير في المقام (أو العكس) في كلا الطرفين؛ فخلط الأطوال هو السبب الرئيسي لفشل البرهان حتى لو كان المستقيمان متوازيين فعلاً.

التمرين: 2الصفحة: 105

📚

تمارين إضافية مقترحة

3 تمرين

تبسيط العبارات الجبرية (تمرين 20)

الشرح:

بسط العبارات التالية مع ملاحظة خاصة حول x² = x × x

التمرين:

حل تمرين 20

النتائج:

A = x² - 5x
B = (x+3)(1-2x) + 5(1-2x) = (x+3 - 2x² - 6x) + (5 - 10x) = -2x² - 5x + 8
C = (1+x)(x-5) - (1+2x)(1+x) = (x-5 + x² - 5x) - (1 + x + 2x + 2x²) = (x² - 4x - 5) - (2x² + 3x + 1) = -x² - 7x - 6

ملاحظة: x² تعني x × x، وهي عملية الضرب، وليست مجرد رمز.

التفصيل:

يركز هذا التمرين على مهارات نشر وتبسيط العبارات الجبرية، وهي عملية تهدف إلى تحويل الجداءات والأقواس إلى مجموع بسيط من الحدود. في العبارة (B) و (C)، يتم استخدام خاصية 'التوزيع المزدوج'، حيث يُضرب كل حد في القوس الأول في جميع حدود القوس الثاني. الخطوة الأكثر حرجاً في هذه العمليات هي 'تبسيط الحدود المتشابهة' (مثل جمع x^2 مع x^2 والحدود التي تحتوي على x معاً)، مع الانتباه الشديد للإشارات؛ فوجود إشارة الناقص قبل القوس في العبارة (C) يتطلب تغيير إشارات جميع الحدود الناتجة عن النشر داخل ذلك القوس، وهو ما يفسر تحول النتيجة النهائية إلى قيم سالبة في معظم أجزائها.

نصيحة:

لتجنب الأخطاء الشائعة في النشر، اتبع دائماً قاعدة 'الإشارة ثم العدد ثم المجهول' عند كل عملية ضرب. تذكر أن x imes x تعطي دائماً x^2، وأن إشارة السالب أمام القوس تعمل مثل 'المرآة العاكسة' التي تقلب الموجب سالباً والسالب موجباً لكل ما بداخل القوس. دائماً رتب نتيجتك النهائية تنازلياً حسب القوة (تبدأ بـ x^2 ثم x ثم الأعداد الثابتة) لجعل العبارة أكثر وضوحاً وسهولة في المراجعة.

تمرين 20صفحة 37

إنشاء زاوية بمعلومية ظلها (تمرين 21)

الشرح:

استخدام تعريف الظل (مقابل/مجاور) لإنشاء هندسي دقيق لزاوية مجهولة.

التمرين:

حل تمرين 21 صفحة 123

الخطوات:
1. نرسم مثلثاً قائماً طول ضلعه المجاور $1cm$ وطول ضلعه المقابل $5.4cm$.
2. الزاوية المقابلة للضلع $5.4cm$ هي الزاوية المطلوبة لأن $\tan x = \frac{5.4}{1} = 5.4$.
التحقق: بالمنقلة نجد القيس $\approx 79.5^\circ$. بالآلة الحاسبة: $arctan(5.4) \approx 79.51^\circ$.

التفصيل:

هذا التمرين يطبق تعريف ظل الزاوية (Tangent) في مثلث قائم الزاوية. ظل زاوية حادة في مثلث قائم يُعرّف على أنه النسبة بين طول الضلع المقابل للزاوية وطول الضلع المجاور لها: tan(θ) = المقابل / المجاور. هنا لإنشاء زاوية ظلها يساوي 5.4، نرسم مثلثاً قائماً بحيث يكون الضلع المجاور للزاوية المطلوبة طوله 1 سم (وحدة قياس مريحة)، والضلع المقابل طوله 5.4 سم، فتكون tan(θ) = 5.4/1 = 5.4. لاحظ أن اختيار الضلع المجاور = 1 يبسط العملية لأن النسبة تصبح مساوية مباشرة لطول الضلع المقابل. بعد رسم المثلث، يمكن قياس الزاوية بالمنقلة لنحصل على ≈ 79.5°. أو باستخدام الدالة العكسية arctan (أو tan⁻¹) على الآلة الحاسبة: arctan(5.4) ≈ 79.51°. هذا الأسلوب الهندسي مفيد جداً عندما نريد إنشاء زاوية ذات ظل معين بدون استخدام آلة حاسبة أو منقلة دقيقة، ويعتمد على فكرة أن الظل يمثل ميل الخط المستقيم (Slope) فكلما كبرت النسبة، اقتربت الزاوية من 90°. في هذا التمرين، 5.4 نسبة كبيرة نسبياً، مما يعني أن الزاوية قريبة من 90° (79.5°)، وهذا منطقي لأن الضلع المقابل أطول بكثير من الضلع المجاور.

نصيحة:

الخطأ الشائع عند تطبيق ظل الزاوية هو الخلط بين الضلع المقابل والضلع المجاور، خاصة عندما تكون الزاوية في موقع غير مألوف في المثلث. تذكر القاعدة: 'المقابل' هو الضلع الذي لا يلمس الزاوية (أي ليس أحد ضلعي الزاوية) و'المجاور' هو الضلع الذي يلمس الزاوية وليس الوتر. خطأ آخر هو نسيان أن المثلث يجب أن يكون قائماً حتى تنطبق النسبة. نصيحة تربوية قيّمة: لتعزيز الفهم، اطلب من الطلاب رسم ثلاث مثلثات قائمة مختلفة تعطي نفس النسبة tan(θ)=2 (مثلاً: مجاور=1, مقابل=2؛ مجاور=2, مقابل=4؛ مجاور=3, مقابل=6) ثم قياس الزوايا، ليكتشفوا أن الزاوية ثابتة مهما اختلفت أبعاد المثلث، لأن التشابه يحافظ على الزوايا. هذا يوضح أن النسب المثلثية تعتمد فقط على الزاوية وليس على حجم المثلث. كما أنصح بحفظ قيم الظل للزوايا الشهيرة: tan(30°)=1/√3≈0.577، tan(45°)=1، tan(60°)=√3≈1.732، لتطوير الحس العددي. تطبيق عملي: اطلب من الطلاب تقدير زاوية بدون آلة حاسبة: إذا كان tan(θ)=5.4، هل هي أقرب إلى 45° أم 80°؟ الجواب 80° لأن tan(45°)=1 و tan(80°)≈5.67، وهذا ينمي الحدس المثلثي.

تمرين 21صفحة 123

تمرين 30 - ترييض مشكلة هندسية (محيطات)

الشرح:

إيجاد قيم x التي تجعل محيط مستطيل أكبر من محيط مثلث متقايس الأضلاع.

التمرين:

التمرين 30 - صفحة 51

• محيط المستطيل = 2(x + 6) = 2x + 12

• محيط المثلث = 3x

حل المشكلة: محيط المستطيل > محيط المثلث

2x + 12 > 3x => 12 > 3x - 2x => x < 12

بما أن x طول، فإن القيم هي: 0 < x < 12

التفصيل:

هذا التمرين في الجبر والهندسة يطبق مفهوم المحيط (Perimeter) وحل المتباينات (Inequalities) في سياق مقارنة محيط شكلين. المستطيل: طوله x، عرضه 6، محيطه = 2(الطول + العرض) = 2(x+6) = 2x+12. المثلث: يبدو أنه مثلث متساوي الأضلاع (من الشكل غير المرئي) طول ضلعه x، محيطه = 3x. المطلوب: محيط المستطيل > محيط المثلث، أي 2x+12 > 3x. ننقل 2x إلى الطرف الأيمن: 12 > 3x - 2x → 12 > x، أي x < 12. ولكن x يمثل طولاً (بُعداً موجباً)، إذن x > 0. مجموعة الحل هي 0 < x < 12. هذا التمرين يبرز كيفية بناء تعبيرات جبرية من أشكال هندسية، وحل متباينة خطية، وتحديد مجال الحل مع مراعاة القيود الطبيعية (الطول موجب). كما يوضح أن الحل قد يكون فترة مفتوحة (Interval) وليس قيمة واحدة.

نصيحة:

من الأخطاء الشائعة في هذا التمرين هو نسيان أن x > 0 لأنه طول، فيكتب الطالب x < 12 فقط. خطأ آخر هو الخطأ في حساب محيط المستطيل: قد يكتب الطالب 2x + 6 (ينسى ضرب 6 في 2) أو x + 12 (ينسى ضرب x في 2). في حل المتباينة، قد يكتب الطالب 2x+12 > 3x → 12 > x (صحيح) لكن قد يخطئ في ترتيب الإشارة فيكتب x > 12. نصيحة تربوية قيّمة: شجع الطلاب على اختبار قيمة حدودية للتحقق. جرب x=10 (تحقق 0<10<12): محيط المستطيل = 2(10)+12=32، محيط المثلث=30، 32>30 صحيح. جرب x=13 (لا تحقق): محيط المستطيل=38، محيط المثلث=39، 38>39 خطأ. جرب x=0 (قيمة حدية لكن الطول لا يمكن أن يكون 0): محيط المستطيل=12، محيط المثلث=0، 12>0 صحيح لكن x=0 غير مقبول لأن الشكل يتحول إلى خط. تطبيق عملي: اطلب من الطلاب حل مسائل مشابهة: 'مستطيل طوله x وعرضه 4، ومربع طول ضلعه x+1، متى يكون محيط المستطيل أقل من محيط المربع؟' (2x+8 < 4x+4 → 4 < 2x → x > 2، مع x>0 → x>2). أو 'مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه x، ومستطيل طوله x+2 وعرضه 3، متى يكون محيط المثلث أكبر من محيط المستطيل؟' (3x > 2(x+2+3)=2x+10 → x > 10). توسيع إضافي: اطلب من الطلاب التعبير عن مساحة المستطيل (6x) ومساحة المثلث (إذا كان متساوي الأضلاع: (√3/4)x²) ومقارنتهما، لكن هذا يتطلب حل متباينة تربيعية.

تمرين 30صفحة 51