🌲 الشجرة التعليمية
الخاصية العكسية لخاصية طالس (تمرين 2)
الشرح
حل تمرين 2 صفحة 105
1) تحليل الأشكال المقترحة
- أ) شرح توافق الأشكال: تحقق الأشكال الثلاثة شرط التناسب $\frac{AB'}{AB} = \frac{AC'}{AC} = \frac{1}{3}$، حيث تقع $B'$ على $(AB)$ و $C'$ على $(AC)$.
- ب) توازي المستقيمين: المستقيمان $(BC)$ و $(B'C')$ متوازيان فقط في الشكل 1. في الشكلين 2 و 3، رغم تحقق النسبة، إلا أن المستقيمين غير متوازيين بسبب عدم احترام ترتيب النقط.
2) إتمام نص الخاصية العكسية
«النقط $A$، $B$، $B'$ تقع على استقامية والنقط $A$، $C$، $C'$ تقع أيضاً في استقامية وكذلك $A$، $B$، $B'$ مرتبة بنفس ترتيب النقط $A$، $C$، $C'$.»
إذا كان $\frac{AB'}{AB} = \frac{AC'}{AC}$ فإن المستقيمين $(BC)$ و $(B'C')$ متوازيان.
يسمى هذا النص «الخاصية العكسية لخاصية طالس».
التفصيل
نصيحة
تمارين إضافية مقترحة
5 تمرينتمرين 5 - قسمة الجذور التربيعية
التمرين 5 - قسمة الجذور التربيعية
(1) إكمال الجدول:
| $a$ | $b$ | $\sqrt{a}$ | $\sqrt{b}$ | $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ | $\frac{a}{b}$ | $\sqrt{\frac{a}{b}}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 36 | 4 | 6 | 2 | 3 | 9 | 3 |
| 25 | 100 | 5 | 10 | 0.5 | 0.25 | 0.5 |
| 0.09 | 0.81 | 0.3 | 0.9 | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{9}$ | $\frac{1}{3}$ |
| -25 | -100 | غير معرف | غير معرف | غير معرف | 0.25 | $\sqrt{-0.25}$ غير معرف |
الحسابات:
- الصف الأول: $\sqrt{36} = 6$، $\sqrt{4} = 2$، $\frac{6}{2} = 3$، $\frac{36}{4} = 9$، $\sqrt{9} = 3$
- الصف الثاني: $\sqrt{25} = 5$، $\sqrt{100} = 10$، $\frac{5}{10} = 0.5$، $\frac{25}{100} = 0.25$، $\sqrt{0.25} = 0.5$
- الصف الثالث: $\sqrt{0.09} = 0.3$، $\sqrt{0.81} = 0.9$، $\frac{0.3}{0.9} = \frac{1}{3}$، $\frac{0.09}{0.81} = \frac{1}{9}$، $\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$
- الصف الرابع: $\sqrt{-25}$ غير معرف في الأعداد الحقيقية (لا يوجد جذر تربيعي لعدد سالب في ℝ). نفس الشيء لـ$\sqrt{-100}$ و$\sqrt{-0.25}$.
ملاحظة: السطر الأخير يظهر -25 و -100، ولكن الجذر التربيعي لعدد سالب غير معرف في مجموعة الأعداد الحقيقية.
(2) التخمين حول العلاقة بين $\sqrt{\frac{a}{b}}$ و$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:
من الجدول (للصفوف الثلاثة الأولى حيث $a > 0$ و $b > 0$) نلاحظ أن: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
التخمين: جذر قسمة عددين موجبين يساوي قسمة جذريهما التربيعيين (بشرط $b \neq 0$).
(3) إثبات صحة التخمين:
أ) إثبات أن كلا من $\sqrt{\frac{a}{b}}$ و$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ موجب (لـ $a > 0$، $b > 0$):
- بما أن $a > 0$ و $b > 0$، فإن $\frac{a}{b} > 0$، وبالتالي $\sqrt{\frac{a}{b}} > 0$
- بما أن $a > 0$، فإن $\sqrt{a} > 0$، وبما أن $b > 0$، فإن $\sqrt{b} > 0$، وبالتالي $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} > 0$
ب) إكمال:
$\left(\sqrt{\frac{a}{b}}\right)^2 = \frac{a}{b}$
$\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2 = \frac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2} = \frac{a}{b}$
ج) الاستنتاج:
بما أن:
1) كلا من $\sqrt{\frac{a}{b}}$ و$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ موجبان (لـ $a > 0$، $b > 0$)
2) $\left(\sqrt{\frac{a}{b}}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2 = \frac{a}{b}$
3) إذا كان $x > 0$ و $y > 0$ و $x^2 = y^2$، فإن $x = y$
إذن: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ لأي عددين موجبين $a$ و $b$ (بشرط $b \neq 0$).
الخلاصة:
$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ هي خاصية أساسية للجذور التربيعية للأعداد الموجبة (بشرط $b \neq 0$).
مستطيل ومثلث فيه - النسبة الذهبية (تمرين 33)
حل تمرين 33
المستطيل ABCD، AD = 1، AE = x، E منتصف AE، △AED قائم في F
(1) طول AE المضبوط: $x = \sqrt{2}$ (في الحالة المعطاة)
لكن التمرين يركز على النسبة الذهبية φ:
AB = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}
(2) AE = AB / 2 في بعض التفسيرات
(3) طول AB المضبوط = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}
(4) طريقة إنشاء العدد الذهبي: تقسيم مقطع طوله 1 بنسبة φ بحيث الكل / الجزء الأكبر = الجزء الأكبر / الجزء الأصغر
تقريب الجذور وحساب الفرق (تمرين 31)
حل تمرين 31
باستعمال الحاسبة:
- y = √2 ≈ 1.414213562373095
- x = 1.414213562373095 (القيمة المعطاة)
- x - y ≈ 0 (الفرق تقريباً صفر بسبب التقريب)
- لذا x ≈ y
(2) a = 1 / (√3 + 2) ، b = √3 - 2
بعد الحساب والترشيد: a = 2 - √3 ، b = √3 - 2 = -(2 - √3)
لذا a = -b → a ≠ b
تبسيط العبارات الجبرية وإيجاد قيم x (تمرين 14)
حل تمرين 14
(أ) نشر وتبسيط A:
A = x(x-5) + 5(x+2) + 6x = x² - 5x + 5x + 10 + 6x = x² + 6x + 10
(ب) A = 0 → x² + 6x + 10 = 0
المميز = 36 - 40 = -4 → لا حل حقيقي
(2) للعبارة الثانية: A = (x-7)(x+4) + 3x + 21 = x² - 3x - 28 + 3x + 21 = x² - 7
A = 0 → x² = 7 → x = \pm \sqrt{7}
تبسيط الدالة g (تمرين 32)
حل تمرين 32
بعد نشر وتبسيط العبارة:
$g(x) = x\sqrt{8}(\dfrac{1}{2} - x\sqrt{2}) + 8 - 16(\dfrac{x}{2} - \sqrt{2})^2$
نلاحظ أن $x^2$ سيختفي عند التبسيط لتصبح العبارة من الدرجة الأولى.
النتيجة: نعم، هي دالة خطية معاملها $a = 16\sqrt{2} + \sqrt{2} = 17\sqrt{2}$.