الخاصية العكسية لخاصية طالس (تمرين 2)

(1) إكمال الجدول:

الحسابات:

• الصف الأول: $\sqrt{36} = 6$، $\sqrt{4} = 2$، $\frac{6}{2} = 3$، $\frac{36}{4} = 9$، $\sqrt{9} = 3$
• الصف الثاني: $\sqrt{25} = 5$، $\sqrt{100} = 10$، $\frac{5}{10} = 0.5$، $\frac{25}{100} = 0.25$، $\sqrt{0.25} = 0.5$
• الصف الثالث: $\sqrt{0.09} = 0.3$، $\sqrt{0.81} = 0.9$، $\frac{0.3}{0.9} = \frac{1}{3}$، $\frac{0.09}{0.81} = \frac{1}{9}$، $\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$
• الصف الرابع: $\sqrt{-25}$ غير معرف في الأعداد الحقيقية (لا يوجد جذر تربيعي لعدد سالب في ℝ). نفس الشيء لـ$\sqrt{-100}$ و$\sqrt{-0.25}$.

ملاحظة: السطر الأخير يظهر -25 و -100، ولكن الجذر التربيعي لعدد سالب غير معرف في مجموعة الأعداد الحقيقية.

(2) التخمين حول العلاقة بين $\sqrt{\frac{a}{b}}$ و$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

من الجدول (للصفوف الثلاثة الأولى حيث $a > 0$ و $b > 0$) نلاحظ أن: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

التخمين: جذر قسمة عددين موجبين يساوي قسمة جذريهما التربيعيين (بشرط $b \neq 0$).

(3) إثبات صحة التخمين:

أ) إثبات أن كلا من $\sqrt{\frac{a}{b}}$ و$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ موجب (لـ $a > 0$، $b > 0$):

• بما أن $a > 0$ و $b > 0$، فإن $\frac{a}{b} > 0$، وبالتالي $\sqrt{\frac{a}{b}} > 0$
• بما أن $a > 0$، فإن $\sqrt{a} > 0$، وبما أن $b > 0$، فإن $\sqrt{b} > 0$، وبالتالي $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} > 0$

ب) إكمال:

$\left(\sqrt{\frac{a}{b}}\right)^2 = \frac{a}{b}$

$\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2 = \frac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2} = \frac{a}{b}$

ج) الاستنتاج:

بما أن:
1) كلا من $\sqrt{\frac{a}{b}}$ و$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ موجبان (لـ $a > 0$، $b > 0$)
2) $\left(\sqrt{\frac{a}{b}}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2 = \frac{a}{b}$
3) إذا كان $x > 0$ و $y > 0$ و $x^2 = y^2$، فإن $x = y$

إذن: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ لأي عددين موجبين $a$ و $b$ (بشرط $b \neq 0$).

الخلاصة:

$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ هي خاصية أساسية للجذور التربيعية للأعداد الموجبة (بشرط $b \neq 0$).