🌲 الشجرة التعليمية

تمرين 1 - الجذور التربيعية ونظرية فيثاغورس

الشرح

حل تمرين يتضمن حساب BC² باستخدام نظرية فيثاغورس، فهم الجذور التربيعية، والفرق بين القيمة المضبوطة والتقريبية للجذور.

التمرين 1 - الجذور التربيعية ونظرية فيثاغورس

1) حساب $BC^2$ باستخدام نظرية فيثاغورس:

من الشكل (غير مرسوم هنا)، نفترض أن $AB = 1cm$ و $AC = 2cm$ (أو أبعاد أخرى بحيث $BC^2 = 5$ بناءً على السؤال).

$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$

إذن: $BC^2 = 5$

ب) الطول $BC$ هو العدد الموجب الذي مربعه 5.

2) القيمة المضبوطة أو المقربة:

القيمة المضبوطة: $\sqrt{5}$

القيمة المقربة: $2.236067978$ (أو $2.24$ لأقرب جزء من 100)

3) تأكد من ظهور القيمة $2.236067978$ على الحاسبة:

عند كتابة $\sqrt{5}$ في الحاسبة تظهر $2.236067978$ لأن هذه قيمة مقربة للجذر التربيعي للعدد 5.

ب) رأي إيمان: نعم، أوافق إيمان. $2.236067978$ ليست القيمة المضبوطة للعدد الذي مربعه 5، بل هي قيمة مقربة. القيمة المضبوطة هي $\sqrt{5}$ وهي عدد غير نسبي (لا يمكن كتابته ككسر) ويحتوي على عدد لا نهائي من الأرقام بعد الفاصلة.

4) كتابة الجذور التربيعية:

$\sqrt{36} = 6$ لأن $6^2 = 36$
$\sqrt{81} = 9$ لأن $9^2 = 81$
$\sqrt{49} = 7$ لأن $7^2 = 49$

5) إكمال العبارات:

(أ)

$\sqrt{25} = 5$
$\sqrt{64} = 8$
$\sqrt{100} = 10$

(ب) $a$ عدد موجب، فإن $\sqrt{a}$ هو العدد الموجب الذي مربعه يساوي $a$.

التفصيل

يتمحور هذا التمرين حول الربط الجوهري بين الهندسة المستوية (عبر نظرية فيثاغورس) ومفهوم الجذور التربيعية في الجبر. عند حساب وتر المثلث القائم الذي يحقق BC^2 = 5، ننتقل من عالم الأعداد الناطقة إلى عالم الأعداد غير النسبيّة (Irrationals)؛ حيث أن \sqrt{5} يمثل قيمة هندسية دقيقة لا يمكن التعبير عنها بكسر بسيط أو عدد عشري منتهٍ. المصطلح 'الجذر التربيعي' لعدد موجب a يُعرف تقنياً بأنه الحل الموجب للمعادلة س^2 = a، وهو ما يفسر لماذا نعتبر القيم التي تعطيها الآلة الحاسبة مجرد 'تقريبات' لاحتواء هذه الأعداد على تمثيل عشري غير دوري وغير منتهٍ. فهم هذا التمييز بين القيمة المضبوطة (الرمز الراديكالي) والقيمة المقربة (الفاصلة العشرية) هو حجر الزاوية في الرياضيات الأكاديمية لتجنب تراكم أخطاء القياس في الحسابات المتقدمة.

نصيحة

إليك سر رياضي هام: لا تخلط أبداً بين 'مربع العدد' و 'الجذر التربيعي'. مربع العدد هو ضربه في نفسه (5^2 = 25)، بينما الجذر التربيعي هو عملية عكسية تماماً تبحث عن الأصل (\sqrt{25} = 5). خطأ شائع يقع فيه الطلاب هو اعتبار أن \sqrt{5} يساوي نصف الـ 5 (أي 2.5)، وهذا خطأ فادح؛ فالجذر هو قيمة هندسية تمثل ضلع مربع مساحته تساوي ذلك العدد. دائماً تحقق من إجابتك بتربيع النتيجة التي حصلت عليها؛ فإذا لم تعد إلى الرقم الأصلي، فجذرك غير دقيق.

التمرين: 1الصفحة: 1

📚

تمارين إضافية مقترحة

3 تمرين

تمرين 29 - نشر، تحليل وحل متراجحة

الشرح:

دمج مهارات النشر والتحليل لحل متراجحة معقدة وتمثيل حلولها.

التمرين:

التمرين 29 - صفحة 51

1) نشر وتبسيط P: P = (-3x - 1)² - 3x(3x + 7) = (9x² + 6x + 1) - (9x² + 21x) = -15x + 1

2) تحليل R: R = (4x² - 1) - (2x + 1)(2x + 3) = (2x - 1)(2x + 1) - (2x + 1)(2x + 3)

R = (2x + 1) [ (2x - 1) - (2x + 3) ] = (2x + 1)(-4) = -8x - 4

3) حل المتراجحة P ≤ R: -15x + 1 ≤ -8x - 4

-15x + 8x ≤ -4 - 1 => -7x ≤ -5 => x ≥ 5/7

التفصيل:

هذا التمرين المتكامل في الجبر يطبق مهارات النشر (Expansion)، التحليل (Factorization)، وحل المتباينات (Inequalities) في سياق واحد. الجزء (1): نشر وتبسيط P = (-3x-1)² - 3x(3x+7). أولاً: (-3x-1)² = (3x+1)² (بإخراج الإشارة السالبة) = 9x² + 6x + 1. ثانياً: 3x(3x+7) = 9x² + 21x. إذن P = (9x²+6x+1) - (9x²+21x) = 9x²+6x+1-9x²-21x = -15x+1. الجزء (2): تحليل R = (4x²-1) - (2x+1)(2x+3). نلاحظ أن 4x²-1 = (2x-1)(2x+1) (فرق بين مربعين). إذن R = (2x-1)(2x+1) - (2x+1)(2x+3). العامل المشترك (2x+1): R = (2x+1)[(2x-1) - (2x+3)] = (2x+1)(2x-1-2x-3) = (2x+1)(-4) = -8x - 4. الجزء (3): حل المتراجحة P ≤ R → -15x+1 ≤ -8x-4. ننقل الحدود: -15x+8x ≤ -4-1 → -7x ≤ -5. نقسم على -7 (عدد سالب، نعكس الإشارة): x ≥ (-5)/(-7) = 5/7. هذا التمرين يبرز التكامل بين مهارات الجبر المختلفة، وأهمية الدقة في التعامل مع الإشارات والكسور.

نصيحة:

من الأخطاء الشائعة في النشر هو التعامل مع (-3x-1)²: قد يكتب الطالب 9x² -6x +1 (نسيان أن 2ab = 2×(-3x)×(-1)=+6x). خطأ آخر هو نسيان توزيع الطرح على القوس الثاني: -(9x²+21x) = -9x²-21x. في التحليل، الخطأ هو عدم ملاحظة أن 4x²-1 عامل يمكن تحليله إلى (2x-1)(2x+1). بعض الطلاب قد يخطئون في طرح القوسين: (2x-1) - (2x+3) = 2x-1-2x-3 = -4، صحيح. في المتراجحة، الخطأ هو نسيان عكس الإشارة عند القسمة على -7 فيكتب x ≤ 5/7 بدلاً من x ≥ 5/7. نصيحة تربوية قيّمة: شجع الطلاب على التحقق من صحة الحل في كل جزء. في الجزء (3)، اختبار x=1 (لأن 1 ≥ 5/7): P = -15(1)+1=-14، R = -8(1)-4=-12، -14 ≤ -12 صحيح. اختبار x=0 (لا يحقق): P=1، R=-4، 1 ≤ -4 خطأ. تطبيق عملي: اطلب من الطلاب نشر وتبسيط Q = (2x-3)² - 4x(x-5) (الحل: 4x²-12x+9-4x²+20x=8x+9)، وتحليل S = (9x²-4) - (3x+2)(x-1) (الحل: (3x-2)(3x+2)-(3x+2)(x-1)=(3x+2)[(3x-2)-(x-1)]=(3x+2)(2x-1))، ثم حل المتراجحة Q ≤ S (8x+9 ≤ (3x+2)(2x-1) → 8x+9 ≤ 6x²-3x+4x-2 → 0 ≤ 6x²-7x-11 → تحليل وحل).

تمرين 29صفحة 51

تحليل العبارات بإخراج عامل مشترك (تمرين 24)

الشرح:

حلل كل عبارة مع ملاحظة وجود عامل مشترك

التمرين:

حل تمرين 24

التحليل:

D = (x - √2)(4x + 3) - (x + 2)(x - √2) = (x - √2) [4x + 3 - (x + 2)] = (x - √2)(4x + 3 - x - 2) = (x - √2)(3x + 1)
E = (2 - 5x)\left(x - \dfrac{2}{3}\right) + (2 - 5x)\left(x - \dfrac{4}{3}\right) = (2 - 5x) \left[ x - \dfrac{2}{3} + x - \dfrac{4}{3} \right] = (2 - 5x) \left(2x - 2\right) = 2(2 - 5x)(x - 1)

ملاحظة: في كل حالة وُجد عامل مشترك واضح.

التفصيل:

هذا التمرين يحلل عبارات جبرية تحتوي على جذور وكسور باستخدام إخراج العامل المشترك (Factoring by common factor). في العبارة D = (x - √2)(4x + 3) - (x + 2)(x - √2)، نلاحظ أن المقدار (x - √2) يتكرر في الحدين: الأول يحتوي على (x - √2) مضروبًا في (4x + 3)، والثاني يحتوي على (x - √2) مضروبًا في (x + 2) بإشارة سالبة. بإخراج (x - √2) كعامل مشترك: (x - √2)[(4x + 3) - (x + 2)] = (x - √2)(4x + 3 - x - 2) = (x - √2)(3x + 1). في العبارة E = (2 - 5x)(x - 2/3) + (2 - 5x)(x - 4/3)، العامل المشترك هو (2 - 5x). بإخراجه: (2 - 5x)[(x - 2/3) + (x - 4/3)] = (2 - 5x)(2x - 6/3) = (2 - 5x)(2x - 2). ثم نلاحظ أن (2x - 2) له عامل مشترك 2، فنكتب: 2(2 - 5x)(x - 1). هذان التمرينان يبرزان أهمية ملاحظة العامل المشترك حتى عندما يكون المقدار المكرر غير بسيط (جذر أو كسر). كما يوضح أن التحليل الكامل يتطلب أحيانًا إخراج عامل مشترك على مرحلتين (مرة من العبارة الأصلية ومرة من القوس الناتج).

نصيحة:

الخطأ الأكثر شيوعًا في هذا النوع من التحليل هو نسيان توزيع الإشارة السالبة على جميع حدود القوس الثاني عند الطرح. في العبارة D، يجب أن يكون داخل القوس (4x + 3) - (x + 2) = 4x + 3 - x - 2 وليس 4x + 3 - x + 2. خطأ آخر هو عدم تبسيط الكسور داخل القوس، مثل ترك 2x - 6/3 دون تبسيط إلى 2x - 2. نصيحة تربوية قيّمة: شجع الطلاب على التحقق من التحليل بتوزيع العامل المشترك مرة أخرى (Double distributivity). مثلاً في D: (x - √2)(3x + 1) = 3x² + x - 3√2 x - √2. العبارة الأصلية بعد التوسيع: (x - √2)(4x+3) = 4x²+3x -4√2 x -3√2، و (x+2)(x-√2) = x² - √2 x + 2x - 2√2، ثم الطرح: (4x²+3x-4√2 x-3√2) - (x²-√2 x+2x-2√2) = 3x² + x -3√2 x - √2، متطابق. هذا التحقق يقوي الدقة. تطبيق عملي: اطلب من الطلاب تحليل عبارات مشابهة مثل F = (x+3)(2x-1) - (x+3)(x+5) أو G = (y-4)(y+2) + (y-4)(3y-1).

تمرين 24صفحة 37

مؤشرات سلسلة أوتار مثلثات قائمة (تمرين 18)

الشرح:

تبسيط الجذور الصماء لسلسلة أطوال أوتار وحساب المدى والوسيط والمتوسط الحسابي لها.

التمرين:

حل تمرين 18 صفحة 101

تبسيط وترتيب السلسلة:
- $\\sqrt{12} = 2\\sqrt{3} \\approx 3.46$
- $4\\sqrt{3} \\approx 6.92$
- $\\sqrt{75} = 5\\sqrt{3} \\approx 8.66$
- $6\\sqrt{3} \\approx 10.39$
- $\\sqrt{27} = 3\\sqrt{3} \\approx 5.19$
الترتيب التصاعدي: $2\\sqrt{3} \\text{, } 3\\sqrt{3} \\text{, } 4\\sqrt{3} \\text{, } 5\\sqrt{3} \\text{, } 6\\sqrt{3}$.
المدى: $6\\sqrt{3} - 2\\sqrt{3} = 4\\sqrt{3}$.
الوسيط: القيمة الوسطى هي $4\\sqrt{3}$.
المتوسط الحسابي: $\\frac{(2+3+4+5+6)\\sqrt{3}}{5} = \\frac{20\\sqrt{3}}{5} = 4\\sqrt{3}$.

التفصيل:

يجمع هذا التمرين بين مهارات تبسيط الجذور التربيعية والمبادئ الأساسية للإحصاء الوصفي. بدأت المنهجية بتحويل كافة الجذور الصماء إلى شكلها المبسط a\sqrt{3}، مما أتاح مقارنتها وترتيبها بسهولة بناءً على المعامل المضروب في الجذر. عند حساب المؤشرات الإحصائية، نلاحظ حالة فريدة من التناظر؛ حيث أن السلسلة مرتبة كمتتالية حسابية بفرق ثابت قدره \sqrt{3}. هذا التناظر أدى إلى تطابق الوسيط (القيمة المركزية) مع المتوسط الحسابي (مركز الثقل)، وهو ما يبرهن رياضياً كيف يمكن للتوزيع المنتظم للبيانات أن يوحد مقاييس النزعة المركزية.

نصيحة:

عندما تلاحظ أن سلسلة من الجذور تشترك في نفس 'الأصم' (مثل \sqrt{3} في هذا التمرين)، تعامل مع الجذر كأنه وحدة قياس ثابتة وركز فقط على الأعداد المضروبة فيه عند الجمع أو الحساب. لتوفير الوقت، إذا كانت السلسلة مكونة من عدد فردي من القيم (مثل 5 قيم هنا) وكانت الفروق بينها ثابتة، فإن المتوسط الحسابي سيكون دائماً هو نفسه الوسيط (القيمة الوسطى) دون الحاجة لإجراء عملية القسمة الطويلة.

تمرين 18صفحة 101