🌲 الشجرة التعليمية

تقاطع مستقيمين (تمرين 10)

الشرح

حساب إحداثيات نقطة تقاطع تمثيلي دالتين تآلفيتين جبرياً وبيانياً.

حل تمرين 10

1) الإنشاء: يتم رسم المستقيم (d) للدالة $g(x)=x-4$ والمستقيم (d') للدالة $h(x)=-2x+1$ في نفس المعلم.
2) إيجاد إحداثيي نقطة التقاطع E:
- شرح الطريقة: نقطة التقاطع هي النقطة التي تتساوى فيها صورتا الدالتين، أي نحل المعادلة $g(x) = h(x)$.
- الحساب الجبري: $x - 4 = -2x + 1 \Rightarrow x + 2x = 1 + 4 \Rightarrow 3x = 5 \Rightarrow x = 5/3$.
- لحساب الترتيب: $y = g(5/3) = 5/3 - 4 = 5/3 - 12/3 = -7/3$.
- إحداثيات النقطة E: $(\frac{5}{3} ; -\frac{7}{3})$ أو تقريباً $(1.66 ; -2.33)$.

التفصيل

يركز هذا التمرين على الربط الجوهري بين الجبر والتمثيل البياني، حيث تُعامل نقطة تقاطع مستقيمين (E) كحل مشترك لجملة مكونة من دالتين تآلفيتين. المنهجية المتبعة هنا تعتمد على مبدأ المساواة؛ فبما أن النقطة E تنتمي للمستقيمين معاً، فإن إحداثياتها يجب أن تحقق معادلتي الدالتين g(x) و h(x) في آن واحد. من خلال حل المعادلة x - 4 = -2x + 1، نقوم فعلياً بالبحث عن 'الفاصلة' المشتركة التي تجعل 'الترتيب' متطابقاً في كلا المستقيمين. بمجرد إيجاد قيمة x = 5/3، ننتقل لمرحلة التعويض في أي من الدالتين لاستخراج قيمة y. هذه العملية تبرهن أن الحل الجبري يعطي دقة متناهية لا يمكن الوصول إليها دائماً عبر الرسم اليدوي، خاصة عندما تكون الإحداثيات عبارة عن كسور غير منتهية.

نصيحة

عند رسم المستقيمات بيانياً، اختر دائماً قيمتين سهلتين للمتغير x (مثل 0 و 1) لتشكيل الجدول المساعد؛ فمثلاً للدالة g(x)، نجد أن النقطتين (0, -4) و (4, 0) هما الأسهل للرسم. نصيحة احترافية: دائماً استخدم الدالة الثانية للتحقق من صحة إحداثيات نقطة التقاطع؛ فبعد حساب y من g(x)، جرب تعويض x في h(x). إذا حصلت على نفس النتيجة ( -7/3 )، فأنت متأكد من أن حلك الجبري والرسم البياني متوافقان تماماً. تذكر أن الرسم البياني يخدم كدليل بصري، بينما الحل الجبري هو البرهان الرياضي القاطع.

التمرين: 10الصفحة: 86

📚

تمارين إضافية مقترحة

3 تمرين

مسألة الالتقاء بيانيًا (تمرين 27)

الشرح:

تمثيل حركة راجل ودراج لتحديد وقت ومكان التقائهما.

التمرين:

حل تمرين 27 صفحة 89

حركة الراجل: ينطلق من A بسرعة $6\text{km/h}$ مع استراحة 10 دقائق كل $3\text{km}$. يُمثل بيانيًا بقطع مستقيمة تتخللها فترات توقف أفقية.
حركة الدراج: ينطلق من B نحو A الساعة 16:45 بسرعة $20\text{km/h}$. يُمثل بمستقيم ميله سالب يبدأ من المسافة $10\text{km}$.
الالتقاء: يتم تحديد وقت الالتقاء والمسافة عن القرية A من خلال إحداثيات نقطة تقاطع التمثيلين البيانيين.

التفصيل:

هذا التمرين في الفيزياء والرياضيات التطبيقية يطبق مفهوم الحركة المنتظمة (Uniform motion) والتمثيل البياني للحركة (Graphical representation of motion) في مسألة التقاء (Meeting point). المسافة بين قريتين A و B هي 10 كيلومترات. الراجل (Walker) يبدأ من A عند الساعة 15:00 (3 عصرًا) بسرعة 6 كم/ساعة، ويتوقف 10 دقائق (1/6 ساعة) كل 3 كيلومترات. حركته ليست منتظمة بالكامل بسبب فترات التوقف، لذا يمثل بيانيًا بخطوط مستقيمة مائلة (تمثل الحركة) تتخللها قطع أفقية (تمثل التوقف عند المسافات 3 كم، 6 كم، 9 كم). الدراج (Cyclist) يبدأ من B (على بعد 10 كم من A) متجهًا نحو A عند الساعة 16:45 (4:45 عصرًا) بسرعة 20 كم/ساعة. حركته منتظمة بدون توقف، ويمثل بمستقيم ميله سالب (لأن المسافة عن A تتناقص مع الزمن) يبدأ من النقطة (16:45, 10) وينتهي عند النقطة التي تصل إلى المسافة 0 (القرية A). نقطة التقاء (Intersection point) بين التمثيلين البيانيين للراجل والدراج تعطي زمن الالتقاء والمسافة عن A عند ذلك الزمن. هذا التمرين يبرز استخدام الرسوم البيانية لحل مسائل الحركة دون الحاجة إلى معادلات جبرية معقدة، ويعزز فهم العلاقة بين الزمن والمسافة والسرعة (d = v × t).

نصيحة:

من الأخطاء الشائعة في هذا النوع من المسائل هو نسيان تحويل وحدات الزمن (الدقائق إلى ساعات). 10 دقائق = 10/60 = 1/6 ساعة. خطأ آخر هو عدم احتساب فترات التوقف بشكل صحيح في المسافة الكلية المقطوعة. الراجل يقطع 3 كم في 0.5 ساعة (لأن 3÷6=0.5)، ثم يتوقف 0.1667 ساعة، ثم 3 كم أخرى، إلخ. بعض الطلاب قد يرسمون خطًا مستقيمًا واحدًا للراجل (بدون توقفات) وهذا خطأ. في حساب التقاء، الخطأ الشائع هو حل المعادلات دون الرسم البياني، ثم نسيان أن الراجل قد يكون في فترة توقف عند الالتقاء. نصيحة تربوية قيّمة: شجع الطلاب على إنشاء جدول زمني للراجل: 15:00→15:30 (3 كم)، 15:30→15:40 (توقف)، 15:40→16:10 (6 كم)، 16:10→16:20 (توقف)، 16:20→16:50 (9 كم)، 16:50→17:00 (توقف)، ثم 17:00→17:10 (10 كم). الدراج يبدأ 16:45 من B (10 كم) بسرعة 20 كم/ساعة، أي يصل إلى A في 10/20 = 0.5 ساعة = 30 دقيقة، أي عند 17:15. نقطة التقاء: بين 16:20 و 16:50 الراجل يتحرك من 6 كم إلى 9 كم، والدراج يتحرك من 16:45 من 10 كم إلى... يمكن حل المعادلة: مسافة الراجل من A = 6 + 6×(t - 16:20) حيث t بالساعات من 16:20، ومسافة الدراج من A = 10 - 20×(t - 16:45). نجد t ≈ 16:30، والمسافة ≈ 7 كم. تطبيق عملي: اطلب من الطلاب حل المسألة جبريًا (بدون رسم) ثم مقارنة النتيجة مع الرسم البياني.

تمرين 27صفحة 89

الزوايا في مثلث داخل دائرة (تمرين 24)

الشرح:

تحديد نوع المثلث المرسوم داخل دائرة حيث يمثل أحد أضلاعه قطراً لها، ثم حساب زواياه باستخدام النسب المثلثية.

التمرين:

حل تمرين 24 صفحة 125

1) نوع المثلث ABC: بما أن $[AB]$ قطر للدائرة والنقطة $C$ تنتمي إليها، فإن المثلث $ABC$ قائم في C (خاصية المثلث المحاط بدائرة أحد أضلاعه قطر لها).
2) حساب أقياس الزوايا:
لدينا الوتر $AB = 5cm$ (القطر) والمجاور $AC = 3cm$.
$\cos \widehat{A} = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{5} = 0.6 \rightarrow \widehat{A} \approx 53.13^\circ$.
$\widehat{B} = 90^\circ - 53.13^\circ = 36.87^\circ$.

التفصيل:

هذا التمرين الهندسي يطبق نظريتين أساسيتين في الهندسة المستوية: نظرية الزاوية المحيطية في دائرة (Inscribed angle theorem) وخصائص المثلث القائم الزاوية في حساب الزوايا باستخدام النسب المثلثية. النظرية الأولى تنص على أن أي مثلث يُرسم بحيث يكون أحد أضلاعه قطرًا في دائرة، فإن الزاوية المقابلة لهذا الضلع (أي الزاوية التي يقع رأسها على محيط الدائرة) تكون قائمة تمامًا (90 درجة). في هذا التمرين، لدينا الدائرة التي مركزها O وقطرها [AB]، والنقطة C تقع على محيط الدائرة. إذن المثلث ABC قائم الزاوية في C، بغض النظر عن موقع C على القوس (باستثناء A و B نفسيهما). الوتر في هذا المثلث القائم هو الضلع AB لأنه يقابل الزاوية القائمة، وطوله يساوي قطر الدائرة = 5 سم. الضلع AC = 3 سم هو أحد ضلعي الزاوية القائمة، وهو المجاور للزاوية A (أي يلمس الزاوية A وليس الوتر). باستخدام تعريف جيب التمام (Cosine) في المثلث القائم: cos(angle) = الضلع المجاور / الوتر. إذن cos(A) = AC / AB = 3/5 = 0.6. لإيجاد قياس الزاوية A، نستخدم الدالة العكسية arccos (أو cos⁻¹) على الآلة الحاسبة: A = arccos(0.6) ≈ 53.130102°، أي حوالي 53.13° بعد التقريب. ولأن مجموع زوايا المثلث هو 180°، والزاوية C = 90°، إذن A + B = 90°، وبالتالي B = 90° - A ≈ 90° - 53.13° = 36.87°. هذا التمرين يبرز العلاقة الجميلة بين الهندسة الدائرية (Circle geometry) وعلم المثلثات (Trigonometry)، ويوضح كيف يمكن استخدام الدائرة لإنشاء مثلث قائم الزاوية بأبعاد محددة، ثم حساب زواياه بدقة دون الحاجة إلى منقلة، باستخدام النسب المثلثية فقط. هذا المفهوم له تطبيقات واسعة في مجالات متعددة مثل المساحة (Surveying)، الملاحة (Navigation)، الهندسة المدنية (Civil engineering)، الفيزياء (Physics) وخاصة في تحليل القوى والمتجهات، وفي الرسوميات الحاسوبية (Computer graphics) لحساب الزوايا والاتجاهات.

نصيحة:

من الأخطاء الشائعة في هذا النوع من التمارين هو الخلط في تحديد أي ضلع هو الوتر. يجب تذكير الطلاب بأن الوتر في المثلث القائم هو الضلع المقابل للزاوية القائمة (الزاوية 90°)، وهو أطول ضلع في المثلث. هنا الزاوية القائمة هي C، لذا الوتر هو AB (قطر الدائرة) وليس AC أو BC. خطأ آخر هو استخدام النسبة المثلثية الخاطئة: قد يحسب الطالب sin(A) = AC/AB أو tan(A) = AC/BC بدلاً من cos(A) = AC/AB. خطأ ثالث هو نسيان أن مجموع الزوايا الحادة في المثلث القائم يساوي 90°، فيحاول حساب B باستخدام قانون جيب التمام مرة أخرى بدلاً من الطرح البسيط. خطأ رابع هو التقريب المبكر: حساب A = 53.13° ثم طرحها من 90° ليعطي 36.87° صحيح، ولكن إذا قرب A إلى 53° فقط، فسيصبح B = 37°، وهذا قريب لكنه أقل دقة. نصيحة تربوية قيّمة ومبتكرة: شجع الطلاب على التحقق من صحة النتائج باستخدام نظرية فيثاغورس (Pythagorean theorem) أولاً: AC = 3، AB = 5، إذن BC = √(5² - 3²) = √(25 - 9) = √16 = 4 سم. ثم التحقق من tan(A) = المقابل/المجاور = BC/AC = 4/3 ≈ 1.3333، و arctan(1.3333) ≈ 53.13°، نفس النتيجة. هذا التحقق المتعدد يعزز الثقة في النتيجة. تطبيق عملي ممتد: اطلب من الطلاب رسم هذا المثلث فعليًا باستخدام مسطرة وفرجار ومنقلة: ارسم دائرة قطرها 5 سم (نصف قطر 2.5 سم)، اختر نقطة C على الدائرة بحيث تكون المسافة AC = 3 سم (باستخدام الفرجار)، ثم قم بقياس الزاوية A بالمنقلة. سيجدونها حوالي 53°، مما يؤكد الحسابات النظرية. توسيع إضافي: اطلب من الطلاب حل نفس المسألة ولكن مع معطيات مختلفة: (أ) إذا كان AB = 10 سم و AC = 6 سم (نفس النسبة 0.6)، فستكون الزوايا نفسها (53.13° و 36.87°) لأن المثلثين متشابهان (Similar triangles). (ب) إذا كان AB = 5 سم و BC = 4 سم (بدلاً من AC = 3 سم)، فحينها cos(B) = BC/AB = 4/5 = 0.8، و B = arccos(0.8) ≈ 36.87°، و A = 53.13°، وهي نفس الزوايا ولكن معكوسة. هذا يوضح أن الزوايا تعتمد على النسب بين الأضلاع وليس على الأطوال المطلقة. تطبيق حياتي: كيف يستخدم المساحون (Surveyors) هذه المبادئ لقياس المسافات والزوايا في الأراضي بدون الدخول إليها؟ مثلاً، لقياس عرض نهر، يمكن إنشاء مثلث قائم على الضفة باستخدام دائرة تخيلية. هذا النوع من الربط بين الرياضيات والحياة الواقعية يزيد من دافعية الطلاب للتعلم ويثري المحتوى التعليمي بعمق.

تمرين 24صفحة 125

تمرين 07 - حل جملة بطريقة الجمع والتعويض

الشرح:

استخدام طريقة الجمع للتخلص من أحد المجاهيل بجمع المعادلتين طرفاً لطرف.

التمرين:

التمرين 07 - صفحة 61

أ) حل الجملة:

نضرب المعادلة (1) في 2- لتصبح: 2x - 6y = -4.
بالجمع مع المعادلة (2): (2x - 2x) + (-6y + y) = -4 + 3 => -5y = -1 => y = 0.2.
بالتعويض: -x + 3(0.2) = 2 => -x + 0.6 = 2 => x = -1.4. الحل: (-1.4 ; 0.2).

التفصيل:

يعتمد هذا الحل على 'طريقة الجمع والتعويض' (Elimination Method) لحل جملة معادلتين خطيتين. رياضياً، الهدف من ضرب المعادلة الأولى في (-2) هو خلق 'معاملات متعاكسة' للمجهول x (أي 2 و -2)، بحيث يختفي هذا المجهول تماماً عند جمع المعادلتين. المصطلح الأساسي هنا هو 'الحذف بالاختزال'، والذي يحول الجملة من مجهولين إلى معادلة بسيطة بمجهول واحد (y). بمجرد إيجاد قيمة y، نستخدم 'التعويض التراجعي' في إحدى المعادلات الأصلية لاستخراج قيمة x، مما يعطينا نقطة تقاطع وحيدة تمثل الحل المشترك للجملة.

نصيحة:

إليك القاعدة الذهبية لاختيار طريقة الحل: إذا كان أحد المجهولين يملك المعامل 1 أو -1 (مثل x في المعادلة الأولى)، فإن طريقة الجمع هي الأسرع والأقل عرضة للأخطاء الحسابية. نصيحة احترافية: دائماً تأكد من ضرب 'كل' حدود المعادلة في العدد المختارة، بما في ذلك الطرف الذي بعد علامة التساوي؛ فنسيان ضرب الثابت (في هذا المثال الرقم 2) هو الخطأ الذي يقع فيه أغلب الطلاب ويؤدي لنتائج غير منطقية.

تمرين 07صفحة 61