🌲 الشجرة التعليمية

نشر وتبسيط عبارة A واستعمال النتيجة في الحساب (تمرين 19)

الشرح

انشر A = x² - (x-1)(x+1)، ثم استعمل النتيجة لحساب بدون آلة

حل تمرين 19

(1) نشر A:

(x-1)(x+1) = x² - 1

A = x² - (x² - 1) = 1

(2) شرح كيفية استعمال النتيجة:

لاحظ أن التعبير هو فرق مربعين، لذا A = 1 دائماً. يمكن استخدام ذلك لتبسيط الحسابات الكبيرة:

B = 98654321² - 98654320 × 98654322 = 98654321² - (98654321 - 1)(98654321 + 1) = 98654321² - (98654321² - 1) = 1

C = 99998887777² - 99998887778 × 99998887776 = نفس المنطق → 1

التفصيل

يُبرز هذا التمرين القوة الاختزالية للمتطابقات الشهيرة، وتحديداً المتطابقة الثالثة (a-b)(a+b) = a^2 - 1. من خلال تبسيط العبارة الجبرية A = x^2 - (x-1)(x+1)، نكتشف أنها تساوي دائماً القيمة الثابتة 1 بغض النظر عن قيمة x. هذا الاستنتاج ليس مجرد تمرين نظري، بل هو أداة حسابية قوية تسمح بحل عمليات حسابية معقدة تتضمن أعداداً ضخمة (مثل B و C) في ثوانٍ معدودة دون الحاجة لآلة حاسبة، وذلك بمجرد إدراك أن العملية تتبع نفس الهيكل الجبري الذي تم إثباته.

نصيحة

عندما تواجه جداء عددين متتاليين يفصل بينهما رقم واحد (مثل 20 و 22)، تذكر دائماً أنهما يمثلان (x-1) و (x+1) حيث x هو العدد الذي بينهما (أي 21). هذه الملاحظة ستمكنك من تحويل أي عملية ضرب صعبة إلى طرح بسيط بين مربع العدد الأوسط والواحد، مما يحول المسائل التي تبدو مستحيلة حسابياً إلى عمليات ذهنية يسيرة.

التمرين: 19الصفحة: 37

📚

تمارين إضافية مقترحة

5 تمرين

حساب الأطوال باستخدام خاصية طاليس (تمرين 8)

الشرح:

تطبيق خاصية طاليس المباشرة في حالة توازي مستقيمين لحساب أطوال الأضلاع المجهولة في المثلث.

التمرين:

حل تمرين 8 صفحة 122

بما أن (NP) // (ML) والمستقيمان (MN) و (LP) يتقاطعان في A.

تطبيق خاصية طاليس: $\frac{AM}{AN} = \frac{AL}{AP} = \frac{ML}{NP}$
المعطيات: $AN=15$, $AM=9$, $AL=6$.
حساب الطول AP:
$\frac{9}{15} = \frac{6}{AP} \rightarrow AP = \frac{15 \times 6}{9} = 10cm$
حساب الطول LP:
$LP = AP - AL = 10 - 6 = 4cm$

التفصيل:

يعتمد هذا الحل على التطبيق المباشر لخاصية طاليس (Thales's Theorem) في شكل 'المثلث'، وهي قاعدة هندسية أساسية تربط بين توازي المستقيمات وتناسب أطوال الأضلاع المتقابلة. تبدأ المنهجية بتحديد شروط النظرية: أولاً، استقامية النقط (A, M, N) و (A, L, P)، وثانياً، وجود التوازي بين الضلعين (NP) و (ML). من خلال صياغة التناسبية في شكل ثلاث نسب متساوية \frac{AM}{AN} = \frac{AL}{AP} = \frac{ML}{NP}، نتمكن من عزل المجهول AP واستخدامه كجسر رياضي للوصول إلى المطلوب. تبرز هنا أهمية علاقة شال للأطوال، حيث أن طول القطعة LP ليس سوى الفرق الهندسي بين الضلع الكلي AP والجزء المعلوم منه AL، مما يوضح كيف تتكامل العمليات الحسابية مع التصور المكاني للأشكال الهندسية.

نصيحة:

من الأخطاء الكلاسيكية التي قد تضيع عليك النقاط هي البدء بنسب غير متناظرة، مثل وضع طول من المثلث الصغير فوق طول من المثلث الكبير في الكسر الأول ثم عكسهما في الكسر الثاني. لتجنب ذلك، التزم دائماً بقاعدة 'الصغير على الكبير' أو 'الكبير على الصغير' في جميع أطراف المساواة. نصيحة احترافية: قبل البدء بالحساب العددي، حاول اختزال الكسور المعطاة؛ فمثلاً النسبة \frac{9}{15} يمكن تبسيطها إلى \frac{3}{5} بقسمة الطرفين على 3، مما يجعل عملية الضرب في 6 والقسمة الذهنية أسرع بكثير وأقل عرضة للخطأ، خاصة في غياب الآلة الحاسبة.

تمرين 8صفحة 122

النسب المثلثية في المثلث القائم (تمرين 3)

الشرح:

شرح مفصل لمفاهيم الجيب (Sin) والظل (Tan) وجيب التمام (Cos) في مثلث قائم الزاوية، مع تبرير القيم المحصورة لنسب الجيب وجيب التمام.

التمرين:

حل تمرين 3 صفحة 116

في المثلث $ABC$ القائم في $A$، نعتبر الزاوية الحادة $\widehat{B}$.

1) إتمام العبارات بالتعاريف الأساسية:
- $\sin \widehat{B} = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{AC}{BC}$
- $\tan \widehat{B} = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}} = \frac{AC}{AB}$
2) شرح لماذا $0 < \sin \widehat{B} < 1$ و $0 < \cos \widehat{B} < 1$:
- في أي مثلث قائم، يكون الوتر هو أطول أضلاع المثلث دائماً.
- بما أن $\sin \widehat{B} = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}}$ و $\cos \widehat{B} = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}}$، وبما أن طول الضلع المقابل أو المجاور دائماً أصغر من طول الوتر، فإن النسبة تكون دائماً أقل من $1$.
- وبما أن الأطوال دائماً قيم موجبة تماماً في الهندسة، فإن النسبة تكون أكبر من $0$.

أهمية النسب المثلثية (SOH CAH TOA):

تعتبر هذه النسب حجر الزاوية في حساب المثلثات، حيث تسمح بربط قياسات الزوايا بأطوال الأضلاع. تُستخدم هذه المفاهيم في الهندسة المدنية، الملاحة، وحتى في تطوير برمجيات الألعاب لمحاكاة الحركة والفيزياء.

التفصيل:

يعالج هذا التمرين المفاهيم التأسيسية لـ 'النسب المثلثية' (Trigonometric Ratios) في المثلث القائم الزاوية، وهي الجيب (Sinus) والظل (Tangent). رياضياً، يتم تعريف هذه النسب كعلاقة قياسية بين أطوال أضلاع المثلث، وتكمن العلة في انحصار قيم الجيب وجيب التمام بين 0 و1 في أن 'الوتر' يمثل دائماً الضلع الأطول هندسياً (يقابل الزاوية الكبرى 90 درجة)؛ وقسمة أي عدد أصغر على عدد أكبر تنتج حتماً كسراً قيمته أقل من الوحدة. هذا المنطق يربط بين الخصائص المترية للمثلث (أطوال الأضلاع) والخصائص الزاوية، مما يجعل النسب المثلثية أدوات دقيقة للتنبؤ بالأبعاد في المثلثات المتشابهة مهما اختلف حجمها.

نصيحة:

إليك القاعدة الذهبية للحفظ السريع: استخدم الكلمة المفتاحية 'SOH CAH TOA' لتذكر أن الجيب (Sin) هو مقابل على وتر، وجيب التمام (Cos) هو مجاور على وتر، والظل (Tan) هو مقابل على مجاور. نصيحة احترافية: دائماً تأكد أن آلتك الحاسبة مضبوطة على وضع الدرجات (DEG) وليس الراديان (RAD) قبل حساب هذه النسب، وتذكر أن قيمة الظل (tan) يمكن أن تتجاوز 1 بخلاف الجيب، وذلك لأن الضلع المقابل قد يكون أطول من الضلع المجاور في المثلث القائم.

تمرين 3صفحة 116

مقارنة تسعيرتين (تمرين 31)

الشرح:

اختيار التسعيرة الأفضل بناءً على المسافة المقطوعة.

التمرين:

حل تمرين 31

التسعيرة 1: $f(x) = 20x$
التسعيرة 2: $g(x) = 4000$
المقارنة: نجد نقطة التقاطع $20x = 4000 \rightarrow x = 200$.
التسعيرة الأولى أفضل إذا كانت المسافة أقل من 200km.
التسعيرة الثانية أفضل للمسافات الطويلة (أكبر من 200km).

التفصيل:

هذا التمرين في الرياضيات التطبيقية يطبق مقارنة دالتين خطيتين (Comparing linear functions) في سياق اختيار أفضل تسعيرة لخدمة (مثل سيارة أجرة أو استئجار سيارة). التسعيرة الأولى: f(x) = 20x، حيث x هي المسافة بالكيلومترات، و 20 هو السعر لكل كيلومتر (دينار مثلاً). هذه دالة خطية تمر بنقطة الأصل، وتزايدية. التسعيرة الثانية: g(x) = 4000، وهي دالة ثابتة (Constant function) بغض النظر عن المسافة. نقطة التقاطع (Break-even point) بين f و g هي 20x = 4000 → x = 200 كم. عند x = 200، f(200)=g(200)=4000. للمسافات الأقل من 200 كم (x < 200)، نجد أن f(x) < g(x) لأن 20x < 4000، لذا التسعيرة الأولى أفضل (أرخص). للمسافات الأكبر من 200 كم (x > 200)، f(x) > g(x)، لذا التسعيرة الثانية أفضل. هذا التمرين يبرز استخدام الدوال الخطية في اتخاذ القرارات الاقتصادية، وكيفية إيجاد نقطة التعادل (Break-even point) بين خيارين، وتحليل التباين حسب المجال.

نصيحة:

من الأخطاء الشائعة في هذا التمرين هو عكس المقارنة: قد يعتقد الطالب أن التسعيرة الثانية أفضل للمسافات القصيرة لأنها ثابتة، لكن في الواقع، التسعيرة الثانية (4000) قد تكون مرتفعة مقارنة بـ 20x عندما x صغير. خطأ آخر هو نسيان أن x تمثل المسافة وأنها موجبة. بعض الطلاب قد يحلون 20x = 4000 → x=200 ثم يقولون إن التسعيرة الأولى أفضل إذا كانت x > 200 (وهذا خطأ، يجب التحقق بقيمة x=300: f=6000، g=4000، f>g أي الثانية أفضل). نصيحة تربوية قيّمة: شجع الطلاب على اختبار قيم عددية قبل استنتاج الاتجاه. جرب x=100: f=2000، g=4000 → f أفضل. جرب x=300: f=6000، g=4000 → g أفضل. تطبيق عملي: اطلب من الطلاب حل مسائل مشابهة: 'تسعيرة أولى: 30 دينار لكل كيلومتر، تسعيرة ثانية: 1000 دينار ثابت + 10 دينار لكل كيلومتر. أيهما أفضل؟' (f=30x، g=1000+10x، نقطة التقاطع: 30x=1000+10x → 20x=1000 → x=50. لـ x<50: f أفضل، لـ x>50: g أفضل). أو 'تسعيرة أولى: 150 دينار لكل ساعة، تسعيرة ثانية: 500 دينار ثابت + 50 دينار لكل ساعة. أيهما أفضل؟' (f=150x، g=500+50x → 150x=500+50x → 100x=500 → x=5 ساعات. لـ x<5: f أفضل، لـ x>5: g أفضل). توسيع إضافي: اطلب من الطلاب تمثيل الدالتين بيانياً (f خط مستقيم يمر بالأصل، g خط مستقيم موازٍ لمحور السينات) ورؤية نقطة التقاطع بيانياً.

تمرين 31صفحة 75

تعيين دالة (تمرين 6)

الشرح:

إيجاد عبارة الدالة g بمعلومية صورة عدد.

التمرين:

حل تمرين 6

المعامل $a = \dfrac{g(x)}{x} = \dfrac{-3/5}{-2/3} = \dfrac{-3}{5} \times \dfrac{-3}{2} = \dfrac{9}{10} = 0.9$

العبارة: $g(x) = 0.9x$

التفصيل:

يستعرض هذا التمرين كيفية 'تحديد عبارة دالة خطية' انطلاقاً من صورة عدد غير معدوم. رياضياً، بما أن الدالة خطية، فهي تكتب حتماً على الشكل g(x) = ax. المصطلح الأساسي هنا هو 'معامل التوجيه' a، والذي يتم استخراجه بقسمة الصورة على العدد (a = g(x)/x). التحدي الحسابي في هذا التمرين يكمن في التعامل مع 'قسمة الكسور'؛ حيث قمنا بتحويل عملية القسمة إلى ضرب في مقلوب الكسر الثاني، مع مراعاة قاعدة الإشارات (سالب في سالب يعطي موجب)، مما أدى للوصول إلى المعامل العشري المبسط 0.9.

نصيحة:

إليك القاعدة الذهبية لقسمة الكسور: 'الكسر الأول يبقى كما هو، القسمة تتحول لضرب، والكسر الثاني يقلب رأساً على عقب'. نصيحة احترافية: دائماً تأكد من كتابة العبارة النهائية g(x) = 0.9x ولا تكتفِ بإيجاد قيمة a فقط، فالسؤال يطلب 'العبارة' وليس المعامل وحده. تذكر أيضاً أن المعامل الموجب يعني أن الدالة 'متزايدة'، أي أن مستقيمها يصعد من اليسار إلى اليمين.

تمرين 6صفحة 72

نشر وتبسيط العبارات (تمرين 28)

الشرح:

انشر وبسط كل عبارة مما يأتي

التمرين:

حل تمرين 28

(أ) $\sqrt{3}(\sqrt{3} + 2)$ = $3 + 2\sqrt{3}$

(ب) $(5 + \sqrt{7})(\sqrt{7} - 4)$ = $5\sqrt{7} - 20 + 7 - 4\sqrt{7}$ = $ -13 + \sqrt{7} $

(ج) $(2\sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{5} + \sqrt{3})$ = $2\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} + 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot \sqrt{3}$

= $2\sqrt{15} + 6 - 5 - \sqrt{15}$ = $\sqrt{15} + 1$

التفصيل:

هذا التمرين في الجبر يطبق عمليات الضرب والتوزيع (Distributive property) على عبارات تحتوي على جذور تربيعية. الهدف هو تبسيط العبارات إلى أبسط صورة. في الجزء (أ): √3(√3+2) = √3×√3 + √3×2 = (√3)² + 2√3 = 3 + 2√3. في الجزء (ب): (5+√7)(√7-4). نطبق التوزيع مرتين (FOIL): 5×√7 = 5√7، 5×(-4) = -20، √7×√7 = 7، √7×(-4) = -4√7. نجمع الحدود المتشابهة: 5√7 - 4√7 = √7، والثوابت: -20 + 7 = -13. إذن النتيجة = -13 + √7. في الجزء (ج): (2√3 - √5)(√5 + √3). نوزع: 2√3×√5 = 2√15، 2√3×√3 = 2×3 = 6، (-√5)×√5 = -5، (-√5)×√3 = -√15. نجمع: 2√15 - √15 = √15، والثوابت: 6 - 5 = 1. إذن النتيجة = √15 + 1. هذا التمرين يبرز كيفية التعامل مع الجذور كأعداد حقيقية، حيث تخضع لنفس قواعد التوزيع والجمع، مع تذكر أن (√a)² = a، و √a × √b = √(ab).

نصيحة:

من الأخطاء الشائعة في هذا النوع من التمارين هو نسيان الإشارات عند التوزيع، خاصة عندما يكون هناك حد سالب مثل (-√5) في الجزء (ج). قد يكتب الطالب 2√3×√5 = 2√15 (صحيح)، 2√3×√3=6 (صحيح)، ثم -√5×√5 = -5 (صحيح)، ثم -√5×√3 = -√15 (صحيح)، لكن عند الجمع قد يخطئ في إشارة √15 فيكتب 2√15 + √15 = 3√15 بدلاً من 2√15 - √15 = √15. خطأ آخر هو الخطأ في جمع الثوابت: في الجزء (ب)، -20+7 = -13، وليس -27 أو 13. بعض الطلاب قد يخلطون بين √7×√7 = 7 و (√7)² = 7، هذا صحيح، لكن قد يكتبونها كـ 49 (خطأ). نصيحة تربوية قيّمة: شجع الطلاب على تنظيم العمل في جدول أو ترتيب الحدود حسب نوعها: الجذور من نفس النوع معًا، والثوابت معًا. في الجزء (ب): الحدود التي تحتوي على √7: +5√7 و -4√7 → المجموع +√7. الثوابت: -20 و +7 → المجموع -13. تطبيق عملي: اطلب من الطلاب تبسيط عبارات مثل (√2+3)(√2-5) (الحل: 2 -5√2 +3√2 -15 = -13 -2√2)، أو (2√5-1)(√5+4) (الحل: 2×5 +8√5 -√5 -4 = 10 +7√5 -4 = 6+7√5)، أو (√3+√2)(√3-√2) (الحل: 3 -2 = 1، وهذه متطابقة (a+b)(a-b)=a²-b²). توسيع إضافي: اطلب من الطلاب التعرف على متطابقة (a+b)(a-b)=a²-b² في سياق الجذور، مثل (√7+√5)(√7-√5) = 7-5=2.

تمرين 28صفحة 27